Análisis de datos de vida / El asistente de distribución de Weibull

 

El asistente de distribución en Weibull++

[Nota del editor: este artículo se ha actualizado desde su publicación original para reflejar una versión más reciente de la interfaz del software]

Al realizar datos de vida Análisis de Weibull++ El asistente de distribución puede proporcionar orientación para seleccionar una distribución basada en pruebas estadísticas. El asistente de distribución utiliza tres factores para clasificar las distribuciones: Prueba de Kolmogorov-Smirnov (KS), un coeficiente de correlación normalizada y valor de verosimilitud. Este artículo mostrará cómo Estas clasificaciones están calculadas.

El asistente de distribución

El Asistente de distribución en Weibull++ clasifica a las distribuciones seleccionadas en términos del ajuste a los datos ingresados, como se muestra en la Figura 1.

Figura 1: Asistente de distribución

Para determinar la clasificación se utilizan las tres pruebas junto con los pesos asignados a cada prueba.

Los resultados detallados de los cálculos se pueden encontrar en la hoja inicial de la página Detalles del análisis, como se muestra en la Figura 2.

Figura 2: Detalles del análisis Resultados iniciales

La segunda columna, AVGOF, contiene valores obtenidos mediante la prueba de Kolmogorov-Smirnov (KS). El La tercera columna, AVPLOT, proporciona los resultados de la segunda prueba, que es un coeficiente de correlación normalizado (rho). La cuarta la columna LKV contiene los valores de probabilidad.

En la hoja intermedia de la página Detalles del análisis, estos valores luego se ponderan y combinan en un valor general, DESV, como se muestra en la Figura 3.

 

Figura 3: Detalles del análisis Resultados intermedios

El peso (o importancia) asignado a cada prueba se puede definir mediante el usuario. Al hacer clic en el botón Configuración, se abre la ventana Configuración del Asistente de distribución, como se muestra en Figura 4.

Figura 4: Asistente de distribución: ventana de configuración avanzada

Los pesos definidos en esta ventana se utilizan en el DESV cálculo. Tenga en cuenta que el usuario puede especificar diferentes pesos dependiendo de si el método de estimación de parámetros es de rango regresión o MLE.

Una vez que se han calculado los valores DESV para cada distribución, se utilizan para determinar clasificaciones generales de las distribuciones seleccionadas.

Ejemplo de uso del asistente de distribución

Supongamos que están disponibles los siguientes datos:

Tiempo hasta el fracaso, horas

10

30

50

60

El Asistente de distribución calculará AVGOF, AVPLOT y LKV para cada distribución seleccionada en consideración y luego obtener una clasificación general para cada uno de ellos. Como ejemplo, calculemos estos valores para el distribución exponencial cuando se utilizan mínimos cuadrados o rangos regresión sobre X (RRX). Para obtener más información sobre estos métodos de estimación de parámetros.

ver: https://help.reliasoft.com/reference/life_data_analysis/lda/parameter_estimation.html#LeastSquaresRankRegression și https://help.reliasoft.com/reference/life_data_analysis/lda/parameter_estimation.html#MaximumLikelihoodEstimationMLE, respectivamente. Tenga en cuenta que los parámetros obtenidos a través de estos Los métodos son diferentes y por lo tanto los valores de AVGOF, AVPLOT y LKV son diferentes en cada caso.

Resultados utilizando RRX

Dados los datos disponibles, estimación del parámetro de distribución exponencial mediante regresión de rangos X da como resultado Lambda igual a 0,02613.

Figura 5: Folio de datos

La prueba estadística KS se puede realizar de manera que las hipótesis nulas y alternativas sean:

• H0: la distribución representa los datos
• H1: la distribución no representa los datos

La estadística de prueba KS (D) es la máxima Diferencia entre la probabilidad observada y la predicha:

 

donde:

• = probabilidad observada
• = probabilidad predicha basada en la distribución
• N = número de observaciones

Pentru acest exemplu:

Tiempo hasta el fracaso, horas	Probabilidad observada,	Probabilidad prevista,	Diferencia absoluta
10	0,15910	0,22996	0,07086
30	0,38573	0,54339	0,15766
50	0,61427	0,72925	0,11498
60	0,84090	0,79151	0,04939

Tenga en cuenta que la probabilidad observada se calcula utilizando rangos medianos. Para obtener más detalles sobre los rangos medianos, consulte a https://help.reliasoft.com/reference/life_data_analysis/lda/parameter_estimation.html#LeastSquaresRankRegression. La probabilidad prevista se calcula utilizando la distribución seleccionada y el parámetro(s) estimado (exponencial con Lambda = 0,02613). Se calcula la diferencia entre esos dos valores y el absoluto más grande la diferencia es D. De los cálculos anteriores:

 

En muchos libros de texto de estadística, hay tablas disponibles que tabulan valores críticos para la prueba KS para diferentes distribuciones [1, Apéndice G]. Por ejemplo, para un nivel de significancia de a = 0,1 y cuatro puntos de datos:

 

Dado que D < Dcrit, entonces en a nivel de significancia de 0,10, H0 no puede rechazarse. Weibull++ calcula la probabilidad crítica en lo cual no podemos rechazar H0:

 

donde d es una variable aleatoria que sigue la distribución de D. Tenga en cuenta que

 AVGOF = 1 - valor p.

Valores grandes de AVGOF, cercanos a 1, indican que existe una diferencia significativa entre la distribución teórica (el que estamos intentando probar) y el conjunto de datos.

Para la distribución exponencial (de la Figura 2):

 

El ajuste del gráfico, AVPLOT, viene dado por:

 

Utilizando los valores calculados previamente:

 

El último término es el logaritmo del valor de verosimilitud obtenido con los parámetros estimados (ver Figura 5). Más La información sobre la función de verosimilitud se puede encontrar en https://help.reliasoft.com/reference/life_data_analysis/lda/parameter_estimation.html#MaximumLikelihoodEstimationMLE

 

Una vez calculados todos los resultados de las pruebas para cada uno distribución, las distribuciones se clasifican para cada prueba, como se muestra en la Figura 2. En este ejemplo, la exponencial La distribución ocupa el octavo lugar cuando se utiliza AVGOF y el décimo cuando se utiliza AVPLOT y 11o cuando se utiliza LKV. Una solución ponderada es entonces obtenido. Utilizando los pesos asignados a cada una de las pruebas, Como se muestra en la Figura 4, el promedio ponderado puede entonces ser calculado, como se muestra en la Figura 3.

Distribución Luego se clasifican según los valores de DESV, clasificándose el valor más bajo como el número 1. En este ejemplo, la distribución de clasificación número 1 es la distribución gamma generalizada.

Referencias

[1] Kececioglu, Dimitri, "Confiabilidad y Manual de pruebas de vida vol. 1," 1993.
[2] Corporación ReliaSoft, Vida Referencia de análisis de datos (Weibull), ReliaSoft Publishing, Tucson, AZ, 2008.

 

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Análisis de datos de vida / Prueba de vida basada en el parámetro de forma de Weibull

 

Determinación del tamaño de la muestra para una prueba de vida basada en el parámetro de forma de la distribución de Weibull

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La distribución de Weibull es una de las distribuciones más importantes en el análisis de datos de vida. El valor de su parámetro de forma (beta) influye en el comportamiento de la tasa de fallas; por lo tanto, los ingenieros de confiabilidad a menudo están interesados en diseñar pruebas de vida que puedan estimar con precisión el valor de beta. En este artículo, utilizaremos SimuMatic®, una herramienta de simulación en Weibull++, para estudiar la propiedad del parámetro de forma cuando se estima utilizando el método de estimación de máxima verosimilitud (MLE). Con base en los resultados del estudio de simulación, proporcionaremos reglas simples sobre cómo determinar el Tamaño de muestra apropiado para una prueba de vida según un requisito de precisión para beta.

Para ilustrar cómo SimuMatic genera datos, considere la función de confiabilidad de la distribución de Weibull:

 1)

donde β es el parámetro de forma y η es el parámetro de escala. Para generar un tiempo de falla aleatorio t, primero se genera un número aleatorio u de una distribución uniforme U(0, 1) y luego se utiliza para representar el valor de confiabilidad R(t). El tiempo de falla t se obtiene entonces utilizando la siguiente ecuación:

 2)

De las ecuaciones. (1) y (2), podemos ver que el valor de η afecta proporcionalmente los tiempos de falla generados, pero no tiene efecto sobre los valores de β. Esto se ilustra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 1

• En SimuMatic, genere un conjunto de datos para una distribución Weibull de 2 parámetros con Beta = 2 y Eta = 100, como se muestra a continuación.

• En la pestaña Censura, seleccione Sin censura.

• En la pestaña Configuración, establezca la cantidad de conjuntos de datos en 5 y la cantidad de puntos en 30.

• En la pestaña Análisis, seleccione Máxima verosimilitud (MLE). Deje todas las demás configuraciones en los valores predeterminados.

Haga clic en Generar para iniciar la simulación. La siguiente tabla muestra los valores beta y eta estimados para cada conjunto de datos, cuando se estiman utilizando MLE:

Tabla 1: Valores generados para Eta = 100

Conjunto de datos	Beta	Eta
1	1.8101	103.8684
2	2.2792	89,8633
3	2.3836	99,6618
4	2.3017	132.6608
5	2.8522	101.3464

• Si cambiamos el valor de entrada de eta de 100 a 1, manteniendo el resto de la configuración sin cambios, los valores beta y eta estimados para cada conjunto de datos serían:

Tabla 2: Valores generados para Eta = 1

Conjunto de datos	Beta	Eta
1	1.81	1.0387
2	2.2792	0,8986
3	2.3836	0,9966
4	2.3017	1.3266
5	2.8522	1.0135

En las Tablas 1 y 2, podemos ver que el valor de entrada de eta no tiene ningún efecto sobre los valores beta estimados. No importa cuál sea el valor de eta, los valores beta estimados seguirán siendo los mismos. Por lo tanto, el parámetro de escala no afecta el parámetro de forma de la distribución de Weibull. Pero, ¿cómo afecta el tamaño de la muestra al parámetro de forma?

En SimuMatic, podríamos utilizar valores beta de 0,5, 1, 1,5, 2 y 2,5 juntos con tamaños de muestra (número de puntos) de 5, 10, 20, 50 y 100. Para cada combinación de valor beta y tamaño de muestra, Generamos 1.000 conjuntos de datos y obtenemos una estimación de la beta. A continuación obtenemos la media y la desviación estándar de los valores beta. Estos valores se dan en las Tablas 3 y 4, como se muestra a continuación.

Tabla 3: Valores medios de Beta

Medio		Tamaño de muestra
		5	10	20	50	100
Beta	0,5	0,7140	0,5836	0,5381	0,5166	0,5112
	1	1.4219	1.1598	1.0678	1.0241	1.0145
	1.5	2.1329	1.7509	1.6142	1.5497	1.5217
	2	2.8558	2.3346	2.1522	2.0663	2.0448
	2.5	3.5698	2.9182	2.6903	2.5828	2.5560

Tabla 4: Valores de desviación estándar de Beta

Desviación estándar		Tamaño de muestra
		5	10	20	50	100
Beta	0,5	0,4032	0,1825	0,1034	0,0566	0,0403
	1	0,8064	0,3662	0,2069	0,1131	0,0807
	1.5	1.2096	0,5494	0,3103	0,1697	0,1210
	2	1.6129	0,7325	0,4138	0,2262	0,1613
	2.5	2.0135	0,9156	0,5172	0,2828	0,2017

En las Tablas 3 y 4, podemos ver que los valores de la media y la desviación estándar tienen las mismas proporciones que los valores beta que se utilizaron en la simulación. Por ejemplo, en la Tabla 3, el valor medio de beta = 1 es el doble del valor medio de beta = 0,5. Lo mismo ocurre con los valores de desviación estándar.

La siguiente relación representa la incertidumbre relativa de la beta estimada:

 3)

donde el denominador representa la solución MLE de beta y el numerador es el valor de desviación estándar de beta. Esta relación suele denominarse coeficiente de variación (CV). Por los resultados de la prueba de simulación, sabemos que la relación es constante para todos los valores beta para un tamaño de muestra determinado y es independiente del valor de beta. Por lo tanto, Eqn. (3) se puede utilizar para diseñar una prueba de vida sin tener que adivinar el valor de beta en la distribución de Weibull.

Regla 1: Determinar el tamaño de la muestra para una prueba de vida en función del requisito de sesgo de beta

En la Tabla 3, podemos ver que el sesgo de la beta estimada disminuye a medida que aumenta el tamaño de la muestra. En este caso, El sesgo es la diferencia entre el valor de beta que se utilizó como entrada para la simulación y el valor de beta que se estimó a partir de la simulación. Desde la Tabla 3, podemos Vea también que el sesgo relativo es una función del tamaño de la muestra y es independiente de los valores de beta y eta. Los sesgos relativos promedio Los cálculos calculados a partir de todas las ejecuciones de simulación para los diferentes tamaños de muestra se resumen en la siguiente tabla.

Tabla 5: Tamaño de la muestra y sesgo relativo promedio correspondiente

Tamaño de la muestra (n)	5	10	20	50	100
Sesgo relativo promedio (ARB)	42,55%	16,58%	7,45%	3,13%	1,92%

El sesgo relativo (RB) de cada combinación se calcula utilizando:

 4)

El siguiente gráfico muestra los datos de la Tabla 5.

Si ajustamos los datos de la Tabla 5 a una función de potencia, entonces tenemos:

 5)

Si se requiere que el ARB esperado sea inferior al 20%, entonces Eqn. (5) nos dice que el número de muestras n para ser utilizado en una prueba de vida debe ser mayor que 9. Por lo tanto, ecuación. (5) se puede utilizar para determinar el tamaño de la muestra de una prueba de vida basándose en el sesgo requerido de beta.

Regla 2: Determinar el tamaño de la muestra para una prueba de vida en función de la relación entre el límite superior e inferior de la beta estimada

La relación de los límites representa qué tan amplios son los límites de confianza. Para un nivel de confianza dado, cuanto mayor sea el ratio, mayor será la incertidumbre de la estimación.

Se pueden obtener los límites superior e inferior unilaterales de beta, cuando se estiman utilizando MLE por:

 6)

donde es el percentil 1-∝ de la distribución normal estándar. La relación de βU y βL es:

 7)

Esta relación se utiliza normalmente para representar la incertidumbre de la estimación de beta. Cuanto mayor sea el tamaño de la muestra, menor será la relación de límites. Porque el La relación se ve afectada únicamente por el tamaño de la muestra, y no por los valores de beta y eta, de lo que se deduce que la Regla 2 también se puede utilizar para planificar una prueba de vida sin tener que adivinar los valores de eta y beta para la distribución de Weibull.

A partir de las Tablas 3 y 4, podemos calcular el coeficiente de variación promedio (ACV) para diferentes tamaños de muestra, como se muestra en la siguiente tabla.

Tabla 6: Tamaño de la muestra y coeficiente de variación promedio correspondiente

Tamaño de la muestra (n)	5	10	20	50	100
	0,5656	0,3139	0,1926	0,1097	0,0792

El siguiente gráfico muestra los datos de la Tabla 6.

 

Si ajustamos los datos de la Tabla 6 a una función de potencia, entonces tenemos:

 8)

Para un límite de confianza unilateral del 90%, la relación de βL y βU es:

 9)

Si se requiere que la relación de límites esperada sea menor que 1,5, entonces la ecuación. (9) nos dice que el valor del El ACV debe ser inferior a 0,1582. Por lo tanto, si establecemos el ACV en 0,1582 en la ecuación. (8), el tamaño mínimo de muestra Se estima que n es 30,59 o 31. El siguiente ejemplo valida la Regla 2 usando SimuMatic. Se puede realizar una validación similar para la Regla 1.

Ejemplo 2

• Supongamos que se requiere que la relación de límites sea inferior a 1,5. Del estudio de la Regla 2 sabemos que el tamaño mínimo de muestra es 31. En SimuMatic, cree una nueva simulación utilizando las siguientes configuraciones:

  

  Asegúrese de que el número de puntos sea 31, que es el tamaño mínimo de muestra. Establezca el número de conjuntos de datos en 1.000. Para los parámetros 2P-Weibull, podemos usar cualquier valor para beta y eta porque las Reglas 1 y 2 no dependen de esos valores. Ésta es la belleza de estas dos reglas. Para este ejemplo, utilice Beta = 2.3 y Eta = 1.

• En la pestaña Censura, seleccione Sin censura.

• En la pestaña Análisis, seleccione Máxima verosimilitud (MLE). Deje todas las demás configuraciones en los valores predeterminados. Haga clic en Generar para iniciar la simulación.

En los resultados, vea la hoja de datos “ordenada”. La siguiente figura muestra el 90% 1 lado inferior límite de confianza de beta.



A continuación se muestra el límite de confianza superior unilateral del 90% de beta:

La relación de βU y βL es 2,8741/1,9605 = 1,4660, que de hecho es menor que el valor requerido de 1,5.

Conclusión

En este artículo, se proponen dos reglas simples para determinar el tamaño de la muestra de una prueba de vida en la que todas las muestras se prueban hasta que fallan. Eqns. (5) y (8) se crearon basándose en los resultados de la simulación de SimuMatic. Aunque no provienen de una derivada matemática rígida, los ejemplos muestran que son precisos y fáciles de aplicar. Regla 2, sin embargo, se utiliza más comúnmente que la Regla 1 porque el sesgo no suele ser una gran preocupación en comparación con la incertidumbre en las estimaciones beta. Para obtener más detalles sobre MLE y límites de confianza, consulte [1, 2].

Referencias

[1] Meeker, W. y Escobar, L, Métodos estadísticos para datos de confiabilidad, John Wiley & Sons, Inc, Nueva York, 1998.

[2] Nelson, W., Análisis aplicado de datos de vida, John Wiley & Sons, Inc., Nueva York, 1982.

 

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