ESTIMACION DE PARAMETROS
El término estimación de parámetros se
refiere al proceso de usar datos de muestra (en ingeniería de
confiabilidad, por lo general datos de tiempos de falla o éxito) para
estimar los parámetros de la distribución seleccionada. Hay varios
métodos de estimación de parámetros disponibles. Esta sección presenta
una descripción general de los métodos disponibles utilizados en el
análisis de datos de vida. Más específicamente, comenzamos con el método
relativamente simple de Trazado de Probabilidad y continuamos con los
métodos más sofisticados de Regresión de Rango (o Mínimos Cuadrados),
Estimación de Máxima Verosimilitud y Métodos de Estimación Bayesiana.
Trazado de probabilidad
El método menos intensivo
desde el punto de vista matemático para la estimación de parámetros es
el método de trazado de probabilidades. Como implica el término, el
trazado de probabilidad implica un trazado físico de los datos en un papel de trazado de probabilidad . Este método se implementa fácilmente a mano, dado que uno puede obtener el papel de trazado de probabilidad apropiado.
El método de representación gráfica de probabilidad toma la CDF de
la distribución e intenta linealizarla empleando un papel especialmente
construido. Las siguientes secciones ilustran los pasos de este método
usando la distribución de Weibull de 2 parámetros como ejemplo. Esto
incluye:
- Linealizar la función de falta de fiabilidad
- Construya el papel de trazado de probabilidad
- Determinar las posiciones X e Y de los puntos de la trama
Y luego usar la gráfica para leer cualquier tiempo en particular o valor de interés de confiabilidad/falta de confiabilidad.
Linealización de la función de falta de fiabilidad
En el caso del Weibull de 2 parámetros, la cdf (también la falta de confiabilidad q ( t ) ) es dado por:
- F ( t ) = Q ( t ) = 1 - mi - ( t η ) β
Luego, esta función puede linealizarse (es decir, ponerse en la forma común de y = metro ′ x + segundo formato) de la siguiente manera :
- Q ( t ) = ln ( 1 - Q ( t ) ) = ln ( 1 - Q ( t ) ) = ln ( - ln ( 1 - Q ( t ) ) ) = ln ( ln ( 1 1 - Q ( t ) ) ) = 1 - mi - ( t η ) β ln [ mi - ( t η ) β ] - ( t η ) β β ( ln ( t η ) ) β ln t - β ln η
Luego, configurando:
- y = en ( en ( 1 1 − Q ( t ) ) )
y:
- x = ln ( t )
la ecuación se puede reescribir como:
- y = β x - β ln ( η )
que ahora es una ecuación lineal con una pendiente de:
- m = β
y un intercepto de:
- segundo = - β ⋅ l norte ( η )
Construyendo el papel
La siguiente tarea es
construir el papel de trazado de probabilidad de Weibull con los ejes y y
x apropiados. La transformación del eje x es simplemente logarítmica.
El eje y es un poco más complejo y requiere una transformación
recíproca logarítmica doble, o:
- y = en ( en ( 1 1 − Q ( t ) ) ) )
donde q ( t ) es la falta de fiabilidad.
Dichos documentos han sido creados por diferentes proveedores y se denominan documentos de trazado de probabilidad .
El sitio web de recursos de ingeniería de confiabilidad de ReliaSoft en
www.weibull.com tiene diferentes papeles de trazado disponibles para descargar .
Para ilustrar, considere la
siguiente gráfica de probabilidad en un tipo ligeramente diferente de
papel de probabilidad de Weibull.
Este documento está construido
en base a las transformaciones y y x mencionadas, donde el eje y
representa la falta de confiabilidad y el eje x representa el tiempo.
Ambos valores deben conocerse para cada punto de tiempo hasta la falla
que queramos graficar.
Entonces, dada la y yx X valor
para cada punto, los puntos se pueden poner fácilmente en la gráfica.
Una vez que se han colocado los puntos en el gráfico, se dibuja la mejor
línea recta posible a través de estos puntos. Una vez que se ha
dibujado la línea, se puede obtener la pendiente de la línea (algunos
documentos de probabilidad incluyen un indicador de pendiente para
simplificar este cálculo). Este es el parámetro b , que es el valor de la pendiente. Para determinar el parámetro de escala, la (también llamada vida característica ), se lee el tiempo en el eje x correspondiente a Q ( t ) = 63,2 .
Tenga en cuenta que en:
- Q ( t = η ) = = = = 1 - 0.632 - ( t η ) β 1 - mi - 1 mi 63.2
Por lo tanto, si ingresamos al y eje Q ( t ) = 63,2 , el valor correspondiente de t será igual a la . Así, utilizando esta sencilla metodología, se pueden estimar los parámetros de la distribución de Weibull.
Determinación de la posición X e Y de los puntos del gráfico
Los puntos en el gráfico
representan nuestros datos o, más específicamente, nuestros datos de
tiempos de falla. Si, por ejemplo, probamos cuatro unidades que fallaron
a las 10, 20, 30 y 40 horas, entonces usaríamos estos tiempos como
nuestros x o valores de tiempo.
Determinar las y , o los valores de falta de fiabilidad, es un poco más complejo. Para determinar las y ,
primero debemos determinar un valor que indique la falta de
confiabilidad correspondiente para esa falla. En otras palabras,
necesitamos obtener el porcentaje acumulado de fallas para cada tiempo
hasta la falla. Por ejemplo, el porcentaje acumulativo de errores a las
10 horas puede ser del 25 %, a las 20 horas del 50 %, y así
sucesivamente. Este es un método simple que ilustra la idea. El problema
con este método simple es el hecho de que el punto del 100% no está
definido en la mayoría de las gráficas de probabilidad; por lo tanto, se
debe utilizar un enfoque alternativo y más sólido. El método más
utilizado para determinar este valor es el método de obtención del rango medio para cada falla, como se analiza a continuación.
rangos medios
El método de rangos medianos
se usa para obtener una estimación de la falta de confiabilidad para
cada falla. El rango medio es el valor que la verdadera probabilidad de
falla, Q ( T j ) , debe tener en j t h falla de una muestra de norte unidades al 50% de nivel de confianza.
El rango se puede encontrar para cualquier punto porcentual, PAG , mayor que cero y menor que uno, resolviendo la ecuación binomial acumulativa para DESDE . Esto representa el rango, o estimación de falta de confiabilidad, para el j t h falla en la siguiente ecuación para el binomio acumulativo:
- PAGS = ∑ norte k = j ( norte k ) Z k ( 1 - Z ) norte - k
donde norte es el tamaño de la muestra y j el número de pedido.
El rango medio se obtiene resolviendo esta ecuación para DESDE en P = 0,50 :
- 0,50 = ∑ norte k = j ( norte k ) Z k ( 1 - Z ) norte - k
Por ejemplo, si norte = 4 y tenemos cuatro fallas, resolveríamos la ecuación de rango mediano para el valor de DESDE cuatro veces; una vez por cada falla con j = 1 , 2 , 3 y 4 . Este resultado se puede usar como estimación de la falta de confiabilidad para cada falla o el y posición de trazado. (Consulte también La distribución de Weibull para ver un ejemplo paso a paso de este método). La solución de la ecuación binomial acumulativa para DESDE requiere el uso de métodos numéricos.
Enfoque de distribuciones Beta y F
Un método más directo y fácil
de estimar los rangos medianos es aplicar dos transformaciones a la
ecuación binomial acumulativa, primero a la distribución beta y luego a
la distribución F, lo que da como resultado [12, 13] :
- METRO R metro norte = = = 1 1 + norte - j + 1 j F 0,50 ; metro ; norte 2 ( norte - j + 1 ) 2 j
donde F0,50 _ ; metro ; norte denota la F distribución en el punto 0,50, con metro y norte grados de libertad, por falla j de norte unidades.
Aproximación de Benard para rangos medianos
Otra aproximación rápida y menos precisa de los rangos medianos también viene dada por:
- METRO R = j − 0,3 norte + 0,4
Esta aproximación de los rangos medianos también se conoce como aproximación de Benard .
Kaplan Meier
El estimador de Kaplan-Meier (también conocido como estimador del límite del producto )
se usa como una alternativa al método de rangos medianos para calcular
las estimaciones de la falta de confiabilidad con fines de
representación gráfica de probabilidad. La ecuación del estimador viene
dada por:
- F ˆˆ ( t yo ) = 1 - ∏ yo j = 1 r j - norte j norte j , yo = 1 ,. _ . . , metro
donde:
- m = n = n i = r j = s j = número total de puntos de datos el número total de unidades n − ∑ j = 0 i − 1 s j − ∑ j = 0 i − 1 r j , i = 1,. ..,m número de fallas en el jth jth grupo y número de unidades supervivientes en el datos , de grupo
Ejemplo de gráfico de probabilidad
Esta misma metodología se puede aplicar a otras distribuciones con cdf que
se pueden linealizar. Existen diferentes documentos de probabilidad
para cada distribución, porque diferentes distribuciones tienen
diferentes CDF ecuaciones
Las herramientas de software de ReliaSoft crean automáticamente estos
gráficos para usted. Las escalas especiales de estos gráficos le
permiten derivar las estimaciones de los parámetros directamente de los
gráficos, de forma similar a b y la se
obtuvieron de la gráfica de probabilidad de Weibull. El siguiente
ejemplo demuestra el método nuevamente, esta vez usando la distribución
exponencial de 1 parámetro.
Supongamos que
se prueba la confiabilidad de seis unidades idénticas en la misma
aplicación y operación
niveles de estres. Todas estas unidades fallan durante la prueba
después de operar durante los siguientes tiempos (en horas): 96, 257,
498, 763, 1051 y 1744.
Los pasos para
usar el método de representación gráfica de probabilidad para determinar
los parámetros de la función de densidad de probabilidad exponencial
que representa la
los datos son los siguientes:
Clasifique los tiempos de falla en orden ascendente como se muestra a continuación.
falla (h) 96 257 498 763 1,051 1,744 Número de orden de falla de un tamaño de muestra de 6 1 2 3 4 5 6
Obtenga sus posiciones de
trazado de rango medio. Las posiciones de clasificación mediana se
utilizan en lugar de otros métodos de clasificación porque las
clasificaciones medianas están en un
nivel de confianza específico (50%).
Los tiempos de falla, con sus correspondientes rangos medios, se muestran a continuación:
falla (Hr) 257 498 763 1,051 1,744 mediano Rango 96 26 .44 42 .14 57 .86 73 .56 89 .10 10 .91
En un papel de probabilidad exponencial, grafique los tiempos en el eje x y sus correspondientes
valor de rango en el eje y. La siguiente figura muestra un ejemplo de un artículo de probabilidad exponencial. Él
el papel es simplemente un papel log-lineal.
Dibuja la mejor recta posible que pase por t = 0 y ( t ) = 100 punto y a través de los puntos graficados (como se muestra en el diagrama a continuación).
En Q ( t ) = 63,2 o R ( t ) = 36,8 punto
de ordenadas, dibuja un
línea recta horizontal hasta que esta línea se cruza con la línea recta
ajustada. Dibuja una línea vertical a través de esta intersección hasta
que cruce la abscisa. El valor en la intersección de la abscisa es la
estimación de la media. Para este caso, µˆ ˆ= 833 horas lo que significa que λ = 1 μ = 0,0012 (Esto siempre es del 63,2 % porque ( T ) = 1 - 0,632 - μ μ = 1 - mi - 1 = mi = 63,2 .
Ahora cualquier valor de confiabilidad para cualquier tiempo de misión t Puede
ser obtenido. por ejemplo, el
la confiabilidad para una misión de 15 horas, o cualquier otro tiempo,
ahora se puede obtener ya sea de forma gráfica o analítica.
Para obtener el valor del gráfico, dibuje una línea vertical desde la abscisa, en t = 15 horas, a la línea ajustada. Trace una línea horizontal desde esta intersección hasta la ordenada y lea
R ( t ) . En este caso, R ( t = 15 ) = 98.15 . Esto también se puede obtener
analíticamente, a partir de la función de fiabilidad exponencial.
Además del inconveniente más
obvio del trazado de probabilidades, que es la cantidad de esfuerzo
necesario, el trazado manual de probabilidades no siempre es consistente
en los resultados. Dos personas que trazan una línea recta a través de
un conjunto de puntos no siempre dibujarán esta línea de la misma
manera y, por lo tanto, obtendrán resultados ligeramente diferentes.
Este método se usó principalmente antes del uso generalizado de
computadoras que podían realizar fácilmente los cálculos para métodos de
estimación de parámetros más complicados, como los métodos de mínimos
cuadrados y máxima verosimilitud.
Mínimos cuadrados (regresión de rango)
Utilizando la idea del gráfico
de probabilidad, el análisis de regresión ajusta matemáticamente la
mejor línea recta a un conjunto de puntos, en un intento de estimar los
parámetros. Esencialmente, esta es una versión basada matemáticamente
del método de trazado de probabilidad discutido anteriormente.
El método de
mínimos cuadrados lineales se utiliza para todos los análisis de
regresión realizados por Weibull++, excepto para los casos de las
distribuciones Weibull de 3 parámetros, Weibull mixta, gamma y gamma
generalizada, donde se emplea una técnica de regresión no lineal. Los
términos regresión lineal y mínimos cuadrados se usan como sinónimos en esta referencia. En Weibull++, el término regresión de rango se
usa en lugar de mínimos cuadrados o regresión lineal, porque la
regresión se realiza en los valores de rango, más específicamente, los
valores de rango mediano (representados en el eje y). El método de los
mínimos cuadrados requiere que se ajuste una línea recta a un conjunto
de puntos de datos, de modo que se minimice la suma de los cuadrados de
la distancia de los puntos a la línea ajustada. Esta minimización se
puede realizar en dirección vertical u horizontal. Si la regresión es
sobre X ,
luego la línea se ajusta de modo que las desviaciones horizontales de
los puntos a la línea se minimicen. Si la regresión está en Y, esto
significa que la distancia de las desviaciones verticales de los puntos a
la línea se minimiza. Esto se ilustra en la siguiente figura.
Regresión de rango en Y
Suponga que un conjunto de pares de datos ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) ,..., ( x norte , y norte ) fueron obtenidas y graficadas, y que X -Los valores se conocen con exactitud. Entonces, según el principio de los mínimos cuadrados, que
minimiza la distancia vertical entre los puntos de datos y la línea
recta ajustada a los datos, la línea recta que mejor se ajusta a estos
datos es la línea recta y = a ^ + b ^ x (donde el recientemente introducido ( ^ ) indica que este valor es una estimación) tal que:
- ∑ yo = 1 norte ( un ^ + segundo ^ X yo - y yo ) 2 = min ∑ yo = 1 norte ( un + segundo X yo - y yo ) 2
y donde un ^ y b ^ son las estimaciones de mínimos cuadrados de un yb b , y norte es el número de puntos de datos. Estas ecuaciones se minimizan mediante estimaciones de aun y bb tal que:
- un ^ = ∑ norte yo = 1 y yo norte - segundo ^ ∑ norte yo = 1 X yo norte = y ¯ - segundo ^ X ¯
y:
- segundo ^ = ∑ norte yo = 1 X yo y yo - ∑ norte yo = 1 X yo ∑ norte yo = 1 y yo norte ∑ norte yo = 1 X 2 yo - ( ∑ norte yo = 1 X yo ) 2 norte
Regresión de rango en X
Suponga que un conjunto de pares de datos .., ( x 2 , y 2 ) ,..., ( x norte , y norte ) se
obtuvieron y graficaron, y que los valores de y se conocen exactamente.
Se aplica el mismo principio de mínimos cuadrados, pero esta vez
minimizando la distancia horizontal entre los puntos de datos y la línea
recta ajustada a los datos. La línea recta que mejor se ajusta a estos
datos es la línea recta x = a ˆˆ + b ˆˆ y tal que:
- ∑ norte yo = 1 ( un ˆˆ + segundo ˆˆ y yo − X _ ) 2 = min un _ ( _ , ∑ ) segundo norte yo = 1 ( un + segundo ˆ y yo − X _ ) _
De nuevo, aun y bb son las estimaciones por mínimos cuadrados de y b , y norte es el número de puntos de datos. Estas ecuaciones se minimizan mediante estimaciones de aun y bb tal que:
- un ^ = ∑ norte yo = 1 X yo norte - segundo ^ ∑ norte yo = 1 y yo norte = X ¯ - segundo ^ y ¯
- y:
- segundo ˆˆ = ∑ norte yo = 1 X yo y yo - ∑ norte yo = 1 X yo ∑ norte yo = 1 y yo norte ∑ norte yo = 1 y 2 yo - ( ∑ norte yo = 1 y yo ) 2 norte
Las relaciones
correspondientes para determinar los parámetros para distribuciones
específicas (es decir, Weibull, exponencial, etc.) se presentan en los
capítulos que cubren esa distribución.
Coeficiente de correlación
El coeficiente de correlación
es una medida de qué tan bien se ajusta el modelo de regresión lineal a
los datos y generalmente se denota por ρ .
En el caso del análisis de datos de vida, es una medida de la fuerza
de la relación lineal (correlación) entre los rangos medianos y los
datos. El coeficiente de correlación de la población se define de la
siguiente manera:
- ρ = σ x y σ x σ y
donde σ x y = covarianza de X y y , x _ = desviación estándar de X , y y _ = desviación estándar de y .
El estimador de ρ es el coeficiente de correlación de la muestra, ρ ^ , dada por:
- ρ ^ = ∑ norte yo = 1 X yo y yo - ∑ norte yo = 1 X yo ∑ norte yo = 1 y yo norte ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ∑ norte yo = 1 x 2 yo - ( 1 norte yo = yo X yo ) 2 norte ⎞ ⎠ ⎛ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ∑ ∑ norte yo = 1 y 2 yo - ( 1 norte yo = yo y yo ) 2 norte ⎞ ⎠ ⎟ ⎟
El rango de ρ ^ es − 1 ≤ ρ ^ ≤ 1 .
Cuanto más cerca esté el valor de ± 1 , mejor será el ajuste lineal. Tenga en cuenta que +1 indica un ajuste perfecto (los valores emparejados ( x yo , y yo )
se encuentran en línea recta) con pendiente positiva, mientras que -1
indica un ajuste perfecto con pendiente negativa. Un valor de
coeficiente de correlación de cero indicaría que los datos están
dispersos aleatoriamente y no tienen patrón ni correlación en relación
con el modelo de línea de regresión.
El método de estimación de mínimos cuadrados es bastante bueno para funciones que se pueden linealizar. Para
estas distribuciones, los cálculos son relativamente fáciles y
directos, con soluciones de forma cerrada que pueden dar una respuesta
fácilmente sin tener que recurrir a técnicas numéricas o tablas. Además,
esta técnica proporciona una buena medida de la bondad de ajuste de la
distribución elegida en el coeficiente de correlación. Los mínimos
cuadrados generalmente se usan mejor con conjuntos de datos que
contienen datos completos, es decir, datos que consisten solo en tiempos
únicos de falla sin datos censurados o de intervalo. (Consulte Clasificación de datos de vida para
obtener información sobre los diferentes tipos de datos, incluidos
datos completos, censurados por la izquierda, censurados por la derecha
(o suspendidos) y de intervalo).
Ver también:
Métodos de clasificación para datos censurados
Todos los datos disponibles
deben ser considerados en el análisis de los datos de tiempo hasta la
falla. Esto incluye el caso cuando una unidad particular en una muestra
ha sido removida de la prueba antes de fallar. Un elemento, o unidad,
que se elimina de una prueba de confiabilidad antes de fallar, o una
unidad que está en el campo y todavía está operando en el momento en que
se determina la confiabilidad de estas unidades, se denomina elemento suspendido o censurado por la derecha observación o censurado a la derecha punto de datos . El análisis de artículos suspendidos también se consideraría cuando:
- Necesitamos hacer un análisis de los resultados disponibles antes de completar la prueba.
- Los modos de falla que están ocurriendo son diferentes a los previstos y dichas unidades se retiran de la prueba.
- Necesitamos analizar un solo modo y el conjunto de datos real comprende múltiples modos.
- Se análisis de garantía de
todas las unidades en el campo (unidades no defectuosas y defectuosas).
Las unidades no fallidas se consideran elementos suspendidos (o
censurados por la derecha).
Esta sección describe los
métodos de clasificación que se utilizan tanto en el gráfico de
probabilidad como en los mínimos cuadrados (regresión de clasificación)
para manejar datos censurados. Esto incluye:
- El método de ajuste de rango para datos censurados por la derecha (suspensión).
- El método de clasificación
alternativo de ReliaSoft para datos censurados, incluidos datos
censurados por la izquierda, censurados por la derecha e intervalos.
Método de ajuste de rango para datos censurados por la derecha
Cuando se utiliza el método de
gráficos de probabilidad o de mínimos cuadrados (regresión de rango)
para conjuntos de datos donde algunas de las unidades no fallaron o
fueron suspendidas, necesitamos ajustar su probabilidad de falla o falta
de confiabilidad. Como se discutió anteriormente, las estimaciones de
la falta de confiabilidad de los datos completos se obtienen utilizando
el enfoque de rangos medianos. La siguiente metodología ilustra cómo se
calculan los rangos medianos ajustados para dar cuenta de los datos
censurados por la derecha. Para ilustrar mejor la metodología, considere
el siguiente ejemplo en Kececioglu [20] donde se prueban cinco elementos que dan como resultado tres fallas y dos suspensiones.
Número de artículo
(Posición)
|
Fracaso (F)
o Suspensión (S)
|
Vida útil del artículo, h
|
| 1
|
F 1
|
5,100
|
| 2
|
S 1
|
9,500
|
| 3
|
F 2
|
15,000
|
| 4
|
S 2
|
22,000
|
| 5
|
F3 _
|
40,000
|
La metodología para trazar
elementos suspendidos implica ajustar las posiciones de clasificación y
trazar los datos en función de las nuevas posiciones, determinadas por
la ubicación de las suspensiones. Si consideramos estas cinco unidades,
se utilizaría la siguiente metodología: El primer elemento debe ser la
primera falla; por lo tanto, se le asigna el número de orden de falla j = 1 . El número de orden de falla real (o posición) de la segunda falla, F 2 está en duda Podría estar en la posición 2 o en la posición 3. Tenía S 1 no se ha retirado de la prueba a las 9.500 horas, podría haber funcionado con éxito pasadas las 15.000 horas, por lo que F 2 en la posición 2. Alternativamente, S 1 también podría haber fallado antes de las 15.000 horas, por lo que F 2 en la posición 3. En este caso, el número de orden de falla para F 2 será algún número entre 2 y 3. Para determinar este número, considere lo siguiente:
Podemos encontrar
el número de formas en que puede ocurrir la segunda falla en el orden
número 2 (posición 2) o en el orden número 3 (posición 3). Las formas
posibles se enumeran a continuación.
| F 2 en la posición 2
|
O
|
F 2 en la posición 3
|
| 1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
1
|
2
|
| F 1
|
F 1
|
F 1
|
F 1
|
F 1
|
F 1
|
F 1
|
F 1
|
| F 2
|
F 2
|
F 2
|
F 2
|
F 2
|
F 2
|
S 1
|
S 1
|
| S 1
|
S 2
|
F3 _
|
S 1
|
S 2
|
F3 _
|
F 2
|
F 2
|
| S 2
|
S 1
|
S 1
|
F3 _
|
F3 _
|
S 2
|
S 2
|
F3 _
|
| F3 _
|
F3 _
|
S 2
|
S 2
|
S 1
|
S 1
|
F3 _
|
S 2
|
Se puede ver que F 2 puede
ocurrir en la segunda posición de seis maneras y en la tercera posición
de dos maneras. La posición más probable es el promedio de estas formas
posibles, o el número medio de orden ( MON ), dado por:
- F 2 = METRO O N 2 = ( 6 x 2 ) + ( 2 x 3 ) 6 + 2 = 2.25
Siguiendo la misma lógica
en el tercer fallo, se puede ubicar en las posiciones números 3, 4 y 5
de las posibles formas que se indican a continuación.
| F3 _ en la posición 3
|
O
|
F3 _ en la posición 4
|
O
|
F3 _ en la posición 5
|
| 1
|
2
|
1
|
2
|
3
|
1
|
2
|
3
|
| F 1
|
F 1
|
F 1
|
F 1 >
|
F 1
|
F 1
|
F 1
|
F 1
|
| F 2
|
F 2
|
S 1
|
F 2
|
F 2
|
S 1
|
F 2
|
F 2
|
| F3 _
|
F3 _
|
F 2
|
S 1
|
S 2
|
F 2
|
S 1
|
S 2
|
| S 1
|
S 2
|
F3 _
|
F3 _
|
F3 _
|
S 2
|
S 2
|
S 1
|
| S 2
|
S 1
|
S 2
|
S 2
|
S 1
|
F3 _
|
F3 _
|
F3 _
|
Entonces, el número de orden medio para la tercera falla (ítem 5) es:
- METRO O N 3 = ( 2 x 3 ) + ( 3 x 4 ) + ( 3 x 5 ) 2 + 3 + 3 = 4.125
Una vez que se ha
establecido el número de orden medio para cada falla, obtenemos las
posiciones de rango medio para estas fallas en su número de orden medio.
Específicamente, obtenemos el rango mediano de los números de orden 1,
2.25 y 4.125 de un tamaño de muestra de 5, como se indica a
continuación.
| Posiciones de trazado para las fallas (tamaño de muestra = 5)
|
| Número de falla
|
MI
|
Posición de clasificación mediana (%)
|
| 1: F 1
|
1
|
13%
|
| 2: F 2
|
2.25
|
36%
|
| 3: F3 _
|
4.125
|
71%
|
Una vez que se han
obtenido los valores del rango medio, el análisis del gráfico de
probabilidad es idéntico al presentado anteriormente. Como habrás
notado, esta metodología es bastante laboriosa. A lo largo de los años
se han desarrollado otras técnicas y atajos para agilizar este
procedimiento. Para obtener más detalles sobre este método, consulte
Kececioglu [20] . Aquí, presentaremos uno de estos métodos. Este método calcula MON usando un incremento, I , que se define por:
- yo yo = norte + 1 - PAGS METRO O N 1 + norte yo segundo PAGS S S
Donde
- N = el tamaño de la muestra o el número total de elementos en la prueba
- PMON = número de pedido medio anterior
- NIBPSS =
el número de elementos más allá del conjunto suspendido actual. Es el
número de unidades (incluyendo todas las fallas y suspensiones) en el
tiempo de falla actual.
- i = el iésimo elemento de falla
MON se da como:
- METRO O N yo = METRO O N yo - 1 + yo yo
Calculemos el ejemplo anterior usando el método.
Para F1:
- METRO O N 1 = METRO O N 0 + yo 1 = 5 + 1 - 0 1 + 5 = 1
Para F2:
- METRO O norte 2 = METRO O norte 1 + yo 2 = 1 + 5 + 1 - 1 1 + 3 = 2,25
Para F3:
- METRO O N 3 = METRO O N 2 + yo 3 = 2,25 + 5 + 1 - 2,25 1 + 1 = 4,125
El MON obtenido para cada
elemento de falla a través de este método es el mismo que el del primer
método, por lo que los valores de rango mediano también serán los
mismos.
Para datos agrupados, el incremento yo yo en cada grupo de fallas se multiplicará por el número de fallas en ese grupo.
Deficiencias del método de ajuste de rango
Aunque el método de ajuste de
rango es el método más utilizado para realizar análisis de elementos
suspendidos, nos gustaría señalar la siguiente deficiencia. Como habrás
notado, solo se tiene en cuenta la posición donde ocurrió la falla, y
no el tiempo exacto de suspensión. Por ejemplo, esta metodología
produciría exactamente los mismos resultados para los próximos dos
casos.
| Caso 1
|
Caso 2
|
| Número de artículo
|
Estado*"F" o "S"
|
Vida de un artículo, hr
|
Número de artículo
|
Estado*,"F" o "S"
|
Vida útil del artículo, h
|
| 1
|
F 1
|
1,000
|
1
|
F 1
|
1,000
|
| 2
|
S 1
|
1,100
|
2
|
S 1
|
9,700
|
| 3
|
S 2
|
1,200
|
3
|
S 2
|
9,800
|
| 4
|
S 3
|
1,300
|
4
|
S 3
|
9,900
|
| 5
|
F 2
|
10,000
|
5
|
F 2
|
10,000
|
| * F - Reprobado, S - Suspendido
|
* F - Reprobado, S - Suspendido
|
Este déficit es
significativo cuando el número de fallas es pequeño y el número de
suspensiones es grande y no se distribuye uniformemente entre las
fallas, como ocurre con estos datos. En casos como este, se recomienda
encarecidamente utilizar la estimación de máxima verosimilitud (MLE)
para estimar los parámetros en lugar de utilizar mínimos cuadrados,
porque MLE no analiza los rangos ni las posiciones de trazado, sino que
considera cada tiempo único hasta la falla o suspensión. . Para los
datos dados anteriormente, los resultados son los siguientes. Los
parámetros estimados utilizando el método recién descrito son los mismos
para ambos casos (1 y 2):
- β ˆˆ = η ˆˆ = 0 .81 11,400 h
Sin embargo, los resultados de MLE para el Caso 1 son:
- β ˆˆ = η ˆˆ = 1,33 6.920 horas
Y los resultados de MLE para el Caso 2 son:
- β ˆˆ = η ˆˆ = 0 .93 21,300 h
Como podemos ver, hay una
diferencia considerable en los resultados de los dos conjuntos
calculados usando MLE y los resultados usando la regresión con el SRM.
Los resultados para ambos casos son idénticos cuando se utiliza la
técnica de estimación de regresión con SRM, ya que SRM considera solo
las posiciones de las suspensiones. Los resultados de MLE son bastante
diferentes para los dos casos, con el segundo caso con un valor mucho
mayor de la ,
lo que se debe a los valores más altos de los tiempos de suspensión en
el Caso 2. Esto se debe a que la técnica de máxima verosimilitud, a
diferencia de la regresión de rangos con SRM, considera los valores de
las suspensiones al estimar los parámetros. Esto se ilustra en la discusión de MLE dada a continuación.
Una alternativa
para mejorar el método de regresión es utilizar el siguiente método de
clasificación de ReliaSoft (RRM) para calcular la clasificación. RRM sí
considera el efecto del tiempo de censura.
Método de clasificación de ReliaSoft (RRM) para datos censurados por intervalos
Cuando se analizan datos de
intervalo, es común suponer que el tiempo de falla real ocurrió en el
punto medio del intervalo. Para ser más conservador, puede usar el
punto inicial del intervalo o puede usar el punto final del intervalo
para ser más optimista. Weibull++ le permite emplear el método de
clasificación (RRM) de ReliaSoft al analizar datos de intervalo.
Mediante un proceso iterativo, este método de clasificación es una
mejora con respecto al método de clasificación estándar (SRM).
Al analizar datos
censurados por la izquierda o la derecha, RRM también considera el
efecto del tiempo de censura real. Por lo tanto, el rango resultante
será más preciso que el SRM donde solo se usa la posición y no el tiempo
exacto de censura.
Para obtener más detalles sobre este método, consulte Método de clasificación de ReliaSoft .
Estimación de máxima verosimilitud (MLE)
Desde un punto de vista
estadístico, el método de estimación de máxima verosimilitud se
considera, con algunas excepciones, como la más robusta de las técnicas
de estimación de parámetros discutidas aquí. El método presentado en
esta sección es para datos completos (es decir, datos que consisten solo
en tiempos hasta la falla). El análisis de los datos censurados por la derecha (suspensión) y de los datos de intervalo o censurados por la izquierda se analizan en las siguientes secciones.
La idea básica
detrás de MLE es obtener los valores más probables de los parámetros,
para una distribución dada, que describirán mejor los datos. Como
ejemplo, considere los siguientes datos (-3, 0, 4) y suponga que está
tratando de estimar la media de los datos. Ahora, si tienes que elegir
el valor más probable para la media entre -5, 1 y 10, ¿cuál elegirías?
En este caso, el valor más probable es 1 (dado su límite de opciones).
De manera similar, bajo MLE, uno determina los valores más probables
para los parámetros de la distribución supuesta. Se formula
matemáticamente de la siguiente manera.
Si X es una variable aleatoria continua con pdf :
- F ( X ; θ 1 , θ 2 , ... , _ _ θ k )
donde θ 1 , θ 2 , _ . . , θ k son k parámetros desconocidos que necesitan ser estimados, con R observaciones independientes, X 1 , X 2 , ⋯ , X R , que corresponden en el caso de análisis de datos de vida a tiempos de falla. La función de verosimilitud está dada por:
- L ( θ 1 , θ 2 , . . . , θ k | X 1 , X 2 , . . . , X R ) = L = ∏ R yo = 1 F ( X yo ; θ 1 , θ 2 , . . . , θ k )
- yo = 1 , 2 , . . . , R
La función de verosimilitud logarítmica viene dada por:
- Λ = en L = ∑ R yo = 1 en F ( X yo ; θ 1 , θ 2 , ... , _ _ Θ k )
Los estimadores de máxima verosimilitud (o valores de parámetros) de θ 1 , θ 2 , _ . . , θ k se obtienen maximizando L o Λ .
Al maximizar Λ con el que es mucho más fácil trabajar que con L , los estimadores de máxima verosimilitud (MLE) de θ 1 , θ 2 , _ . . , θ k son las soluciones simultáneas de k ecuaciones tales que:
- ∂ Λ ∂ θ j = 0 , j=1,2...,k
Aunque es una práctica común
graficar las soluciones MLE usando rangos medianos (los puntos se
grafican de acuerdo con los rangos medianos y la línea de acuerdo con
las soluciones MLE), esto no es completamente representativo. Como se
puede ver en las ecuaciones anteriores, el método MLE es independiente
de cualquier tipo de rango. Por esta razón, la solución MLE a menudo
parece no rastrear los datos en el gráfico de probabilidad. Esto es
perfectamente aceptable porque los dos métodos son independientes entre
sí y de ninguna manera sugiere que la solución sea incorrecta.
MLE para datos censurados por la derecha
Al realizar un análisis de
máxima verosimilitud en datos con elementos suspendidos, la función de
probabilidad debe expandirse para tener en cuenta los elementos
suspendidos. La técnica general de estimación no cambia, pero se agrega
otro término a la función de probabilidad para dar cuenta de los
elementos suspendidos. Más allá de eso, el método para resolver las
estimaciones de los parámetros sigue siendo el mismo. Por ejemplo,
considere una distribución donde X es una variable aleatoria continua con pdf y cdf :
- F ( X ; θ 1 , θ 2 , ... , _ _ θ k ) F ( X ; θ 1 , θ 2 , ... , _ _ θ k )
donde θ 1 , θ 2 , _ . . , θ k son los parámetros desconocidos que deben estimarse a partir de R fallas observadas en T 1 , T 2 , . . . , NIÑOS _ , y METRO suspensiones observadas en S 1 , S 2 , . . . , SM _ entonces la función de verosimilitud se formula de la siguiente manera:
- L ( θ 1 , ... , _ _ Θ k | T 1 , ... , _ _ T R , S 1 , ... , _ _ S METRO ) = ∏ R yo = 1 F ( T yo ; θ 1 , θ 2 ,. _ . _ , θ k ) ⋅ ∏ METRO j = 1 [ 1 - F ( S j ; θ 1 , θ 2 , ... , _ _ θ k ) ]
Los parámetros se resuelven
maximizando esta ecuación. En la mayoría de los casos, no existe una
solución de forma cerrada para este máximo o para los parámetros. Las
soluciones específicas para cada distribución que utiliza MLE se
presentan en el Apéndice D.
MLE para intervalos y datos censurados a la izquierda
La inclusión de datos
censurados por intervalos y por la izquierda en una solución MLE para
estimaciones de parámetros implica agregar un término a la ecuación de
probabilidad para tener en cuenta los tipos de datos en cuestión. Cuando
se utilizan datos de intervalo, se supone que las fallas ocurrieron en
un intervalo; es decir, en el intervalo desde el tiempo UN al tiempo B (o desde el momento 0 hasta el momento B si se deja censurado), donde A < B . En el caso de datos de intervalo, y dado PAG observaciones
de intervalo, la función de verosimilitud se modifica multiplicando la
función de verosimilitud con un término adicional de la siguiente
manera:
- L ( θ 1 , θ 2 , . . . , θ k | X 1 , X 2 , . . . , X PAGS ) = ∏ PAGS yo = 1 { F ( X yo ; θ 1 , θ 2 , . . . , θ k ) - F ( X yo - 1 ; θ 1 , θ 2 , . . . , θ k ) }
Tenga en cuenta que si solo
están presentes datos de intervalo, este término representará la función
de probabilidad completa para la solución MLE. La siguiente sección da
una formulación de la función de verosimilitud completa para todos los
esquemas de censura posibles.
La función de probabilidad completa
Ahora hemos visto que obtener
estimaciones de parámetros MLE para diferentes tipos de datos implica
incorporar diferentes términos en la función de probabilidad para dar
cuenta de datos completos, datos censurados por la derecha y datos
censurados por intervalos a la izquierda. Después de incluir los
términos para los diferentes tipos de datos, la función de verosimilitud
ahora se puede expresar en su forma completa o:
- L = ∏ R yo = 1 F ( T yo ; θ 1 , ... , _ _ Θ k ) ⋅ ∏ METRO j = 1 [ 1 - F ( S j ; θ 1 , ... , _ _ Θ k ) ] ⋅ ∏ PAGS l = 1 { F ( yo l U ; θ 1 , ... , _ _ θ k ) - F ( yo l L ; θ 1 , ... , _ _ θ k ) }
donde:
- L → L ( θ 1 , . . . , θ k | T 1 , . . . , T R , S 1 , . . . , S M , I 1 , . . . I P )
y:
- R es el número de unidades con fallas exactas
- METRO es el número de unidades suspendidas
- PAG es el número de unidades con censura a la izquierda o tiempos de intervalo hasta el fallo
- θk _ son los parámetros de la distribución
- _ Yo es el yo t h tiempo al fracaso
- s j es el j t h tiempo de suspensión
- yo _ tu es el final del intervalo de tiempo de l t h grupo
- Yo l L es el comienzo del intervalo de tiempo de l t h grupo
El número total de unidades es norte = R + M + P . Cabe señalar que en esta formulación, si R , METRO o PAG es cero, entonces se supone que el término del producto asociado con ellos es uno y no cero.
El método MLE tiene muchas
propiedades de muestras grandes que lo hacen atractivo para su uso. Es
asintóticamente consistente, lo que significa que a medida que aumenta
el tamaño de la muestra, las estimaciones convergen a los valores
correctos. Es asintóticamente eficiente, lo que significa que para
muestras grandes, produce las estimaciones más precisas. Es
asintóticamente imparcial, lo que significa que para muestras grandes,
uno espera obtener el valor correcto en promedio. La distribución de las
propias estimaciones es normal, si la muestra es lo suficientemente
grande, y esta es la base para los límites de confianza habituales de la matriz de Fisher se analizan más adelante. Todas estas son excelentes propiedades para muestras grandes.
Desafortunadamente,
el tamaño de la muestra necesaria para lograr estas propiedades puede
ser bastante grande: de treinta a cincuenta a más de cien tiempos de
falla exactos, dependiendo de la aplicación. Con menos puntos, los
métodos pueden estar muy sesgados. Se sabe, por ejemplo, que las
estimaciones MLE del parámetro de forma para la distribución de Weibull
están muy sesgadas para tamaños de muestra pequeños, y el efecto puede
incrementarse dependiendo de la cantidad de censura. Este sesgo puede
causar importantes discrepancias en el análisis. También existen
situaciones patológicas en las que no se aplican las propiedades
asintóticas del MLE. Uno de ellos es estimar el parámetro de ubicación
para la distribución de Weibull de tres parámetros cuando el parámetro
de forma tiene un valor cercano a 1. Estos problemas también pueden
causar discrepancias importantes.
Sin embargo, MLE
puede manejar las suspensiones y los datos de intervalo mejor que la
regresión de rango, particularmente cuando se trata de un conjunto de
datos fuertemente censurado con pocos tiempos de falla exactos o cuando
los tiempos de censura están distribuidos de manera desigual. También
puede proporcionar estimaciones con una o ninguna falla observada, lo
que la regresión de rangos no puede hacer. Como regla general, nuestra
recomendación es utilizar técnicas de regresión de rangos cuando los
tamaños de muestra son pequeños y sin censura intensa (la censura se
analiza en Clasificaciones de datos de vida ).
Cuando hay una censura fuerte o desigual, cuando hay una alta
proporción de datos de intervalo y/o cuando el tamaño de la muestra es
suficiente, se debe preferir MLE.
Ver también:
Métodos de estimación de parámetros bayesianos
Hasta este punto, nos hemos
ocupado exclusivamente de lo que comúnmente se conoce como estadística
clásica. En esta sección, se presentará otra escuela de pensamiento en
el análisis estadístico, a saber, la estadística bayesiana. La premisa
de las estadísticas bayesianas (dentro del contexto del análisis de
datos de vida) es incorporar conocimientos previos, junto con un
conjunto dado de observaciones actuales, para poder hacer inferencias
estadísticas. La información previa podría provenir de datos operativos
u observacionales, de experimentos previos comparables o de
conocimientos de ingeniería. Este tipo de análisis puede ser
particularmente útil cuando hay datos de prueba limitados para un diseño
o modo de falla determinado, pero existe una sólida comprensión previa
del comportamiento de la tasa de falla para ese diseño o modo. Al
incorporar información previa sobre los parámetros, se puede obtener una
distribución posterior para los parámetros y se pueden hacer
inferencias sobre los parámetros del modelo y sus funciones. Esta
sección pretende brindar una descripción general rápida y elemental de
los métodos bayesianos, centrada principalmente en el material necesario
para comprender los métodos de análisis bayesianos disponibles en
Weibull++. Se puede encontrar una amplia cobertura del tema en
numerosos libros que tratan sobre estadísticas bayesianas.
Regla de Bayes
La regla de Bayes proporciona
el marco para combinar información previa con datos de muestra. En esta
referencia, aplicamos la regla de Bayes para combinar información previa
sobre los parámetros de la distribución supuesta con datos de muestra
para hacer inferencias basadas en el modelo. El conocimiento previo
sobre el(los) parámetro(s) se expresa en términos de φ ( θ ) , llamada distribución previa . La posterior distribución θ dados los datos de la muestra, utilizando la regla de Bayes, proporciona la información actualizada sobre los parámetros θ . Esto se expresa con el siguiente pdf :
- F ( θ | re un t un ) = L ( re un t un | θ ) φ ( θ ) ∫ ζ L ( re un t un | θ ) φ ( θ ) re ( θ )
donde:
- θ es un vector de los parámetros de la distribución elegida
- gramo es el rango de θ
- L ( D a t a | θ ) es la función de verosimilitud basada en la distribución y los datos elegidos
- φ ( θ ) es la distribución previa para cada uno de los parámetros
La integral en la ecuación de
la regla de Bayes a menudo se denomina probabilidad marginal, que es un
número constante que se puede interpretar como la probabilidad de
obtener los datos de la muestra dada una distribución previa.
Generalmente, la integral en la ecuación de la regla de Bayes no tiene
una solución de forma cerrada y se necesitan métodos numéricos para su
solución.
Como se puede ver
en la ecuación de la regla de Bayes, existe una diferencia significativa
entre las estadísticas clásicas y bayesianas. Primero, la idea de
información previa no existe en la estadística clásica. Todas las
inferencias en la estadística clásica se basan en los datos de la
muestra. Por otro lado, en el marco bayesiano, la información previa
constituye la base de la teoría. Otra diferencia está en el enfoque
general de hacer inferencias y su interpretación. Por ejemplo, en el
análisis bayesiano, los parámetros de la distribución a ajustar son las
variables aleatorias. En realidad, no hay una distribución ajustada a
los datos en el caso bayesiano.
Por ejemplo,
considere el caso en que los datos se obtienen de una prueba de
confiabilidad. Con base en la experiencia previa con un producto
similar, el analista cree que el parámetro de forma de la distribución
de Weibull tiene un valor entre 1 _ y β2 _ y
quiere utilizar esta información. Esto se puede lograr usando el
teorema de Bayes. En este punto, el analista está forzando
automáticamente la distribución de Weibull como modelo para los datos y
con un parámetro de forma entre 1 _ y β2 _ .
En este ejemplo, el rango de valores para el parámetro de forma es la
distribución anterior, que en este caso es Uniforme. Aplicando la regla
de Bayes se obtendrá la distribución posterior del parámetro de forma.
Por lo tanto, terminamos con una distribución del parámetro en lugar de
una estimación del parámetro, como en la estadística clásica.
Para ilustrar
mejor el ejemplo, suponga que se proporcionó un conjunto de datos de
fallas junto con una distribución para el parámetro de forma (es decir,
anterior uniforme) del Weibull (suponiendo automáticamente que los datos
tienen una distribución de Weibull). En base a eso, se obtiene una
nueva distribución (la posterior) para ese parámetro usando la regla de
Bayes. Esta distribución posterior del parámetro puede o no parecerse en
forma a la distribución previa supuesta. En otras palabras, en este
ejemplo la distribución previa de b se asumió que era uniforme, pero lo más probable es que la parte posterior no tenga una distribución uniforme.
La pregunta ahora
es: ¿cuál es el valor del parámetro de forma? ¿Qué pasa con la
confiabilidad y otros resultados de interés? Para responder a estas
preguntas, debemos recordar que en el marco bayesiano todas estas
métricas son variables aleatorias. Por lo tanto, para obtener una
estimación, se debe especificar una probabilidad o podemos usar el valor
esperado de la distribución posterior.
Para demostrar el
procedimiento de obtención de resultados a partir de la distribución
posterior, reescribiremos la ecuación de la regla de Bayes para un solo
parámetro θ 1 :
- F ( θ | re un t un ) = L ( re un t un | θ 1 ) φ ( θ 1 ) ∫ ζ L ( re un t un | θ 1 ) φ ( θ 1 ) re ( θ )
El valor esperado (o valor medio) del parámetro θ 1 se puede obtener usando la ecuación para la media y la ecuación de la regla de Bayes para un solo parámetro:
- mi ( θ 1 ) = metro θ 1 = ∫ ζ θ 1 ⋅ F ( θ 1 | re un t un ) re θ 1
Un resultado alternativo para θ 1 sería el valor de la mediana. Usando la ecuación para la mediana y la ecuación de la regla de Bayes para un solo parámetro:
- ∫ θ 0.5 - ∞ , 0 F ( θ 1 | re un t un ) re θ 1 = 0.5
La ecuación de la mediana se resuelve para θ 0.5 el valor medio de θ 1
cualquier otro percentil de la función de densidad de probabilidad posterior . se puede calcular e informar Por ejemplo, se podría calcular el percentil 90 de θ 1 ’s posterior pdf :
- ∫ θ 0.9 - ∞ , 0 F ( θ 1 | re un t un ) re θ 1 = 0.9
Este cálculo se utilizará en límites de confianza y la distribución de Weibull para obtener límites de confianza en los parámetros.
El siguiente paso será hacer inferencias sobre la confiabilidad. Dado que el parámetro θ 1 es una variable aleatoria descrita por la probabilidad posterior, todas las funciones subsiguientes de θ 1 también son variables aleatorias distribuidas y se basan completamente en la función de densidad probabilidad de θ 1 .
Por lo tanto, también será necesario calcular el valor esperado, la
mediana u otros valores percentiles. Por ejemplo, la confiabilidad
esperada en el tiempo T es:
- mi [ R ( T | re un t un ) ] = ∫ ς R ( T ) F ( θ | re un t un ) re θ
En otras palabras, en un momento dado T , existe una distribución que gobierna el valor de confiabilidad en ese momento, T ,
y usando la regla de Bayes se obtiene el valor esperado (o medio) de la
confiabilidad. También se pueden obtener otros percentiles de esta
distribución.
Se sigue un procedimiento similar para otras funciones de θ 1 , como la tasa de fallas, la vida confiable, etc.
Distribuciones anteriores
Las distribuciones anteriores
juegan un papel muy importante en las estadísticas bayesianas. Son
esencialmente la base del análisis bayesiano. Existen diferentes tipos
de distribuciones previas, a saber, informativas y no informativas . Las distribuciones previas no informativas (también conocidas como vagas , planas y difusas )
son distribuciones que no tienen una base poblacional y juegan un papel
mínimo en la distribución posterior. La idea detrás del uso de
distribuciones previas no informativas es hacer inferencias que no se
vean muy afectadas por la información externa o cuando la información
externa no esté disponible. La distribución uniforme se utiliza con
frecuencia como un dato previo no informativo.
Por otro lado, los
previos informativos tienen una mayor influencia en la distribución
posterior. La influencia de la distribución previa sobre la posterior
está relacionada con el tamaño de la muestra de los datos y la forma de
la anterior. En términos generales, se requieren tamaños de muestra
grandes para modificar los datos previos fuertes, mientras que los datos
previos débiles se ven abrumados incluso por tamaños de muestra
relativamente pequeños. Los antecedentes informativos generalmente se
obtienen de datos pasados.
