Fuente: https://help.reliasoft.com/articles/content/hotwire/issue148/hottopics148.htm
Introducción
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Discusión sobre la estimación de máxima verosimilitud para la distribución Weibull de 3 parámetros
La distribución Weibull de 2 parámetros se ha utilizado ampliamente en ingeniería de confiabilidad. Porque es así popular, a veces la gente se refiere al análisis de datos de vida como análisis de Weibull. La distribución Weibull de 3 parámetros también se utiliza ocasionalmente si hay un tiempo libre de fallas período. Sin embargo, estimación de la ubicación El parámetro y sus límites de confianza han sido un tema difícil, con muchos artículos publicados sobre el tema. En este artículo, revisaremos algunos de Los problemas en la estimación de los parámetros del Weibull de 3 parámetros distribución.
La función de densidad de probabilidad (pdf) para una distribución Weibull de 3 parámetros es:
1donde:
- t es el tiempo de fracaso.
- β > 0 es el parámetro de forma.
- γ > 0 es el parámetro de escala.
- -∞ < γ < +∞ es el parámetro de ubicación o vida libre de fallos.
Caso 1: Se desconocen los tres parámetros
Supongamos que hay N fallas y se conocen sus tiempos de falla. El La función de probabilidad logarítmica será:
2Defina que el tiempo de falla más pequeño de ti sea tmin. Entonces cuando γ → tmin, ln(tmin - γ) → -∞. Si β es menor que 1, entonces (β - 1)ln(tmin - γ) va a +∞ . Para una solución dada de β, η y γ, podemos Encuentra siempre otro conjunto de soluciones (por ejemplo, acercando γ a tmin) eso dará un valor de probabilidad mayor. Por lo tanto, no existe MLE solución para β, η y γ.
En Weibull++, se utiliza un algoritmo basado en gradientes para encontrar el MLE solución para β, η y γ. El límite superior del rango para γ es arbitrario establecido en 0,99 de tmin. Dependiendo del conjunto de datos, ya sea un óptimo local o Se devuelven 0,99 tmin como solución MLE para γ.
Caso 2: Se da el parámetro de ubicación γ
Cuando se da γ, definiendo xi = ti - γ, La distribución Weibull de 3 parámetros se convierte en una distribución Weibull regular de 2 parámetros distribución. La función de probabilidad logarítmica se convierte en:
3Tomando la derivada con respecto a η, obtenemos:
4
Entonces el resultado anterior es el MLE solución para η.
Reemplazando η usando su solución MLE en la ecuación. (3) y tomando la derivada Con respecto a β, obtenemos:
5Se puede demostrar que existe una solución única para que β produzca la ecuación. (5) igual a 0. El detalle de la prueba no se da en este artículo.
Caso 3: Se da el parámetro de forma β
Si β < 1, está claro que no existe una solución MLE para γ en la ecuación. (2), El El valor de probabilidad tiende a infinito positivo cuando γ → tmin.
Si β = 1, ecuación. (2) se convierte en:
6La derivada con respecto a γ es:
Cuando 1 < β < 2, sabemos por los artículos publicados [1, 2] que el MLE Los estimadores para γ existen en general, pero no son asintóticamente normales.
Cuando β≥ 2, la solución MLE siempre existe y la matriz de información es asintóticamente normal [1, 2].
Los límites de confianza para γ
Cuando se utiliza el método MLE, se utiliza un método comúnmente utilizado para calcular el Los límites de confianza para los parámetros son la información de Fisher método matricial. La matriz de información estimada de Fisher se define como:
Esta es la derivada de segundo orden de la función de probabilidad logarítmica con respecto a cada parámetro en la solución MLE.
La matriz de varianza y covarianza de los parámetros es:
Si asumimos que las soluciones MLE son asintóticamente normales distribuidos, entonces los límites de confianza de los parámetros son:
7Para una discusión más detallada, consulte https://help.reliasoft.com/reference/life_data_analysis/lda/confidence_bounds.html.
Como la varianza debe ser un valor positivo, la derivada de segundo orden en la matriz de información de Fisher para cada parámetro en la solución MLE debe ser negativo. De lo contrario, no se puede estimar ninguna variación.
Utilicemos un ejemplo simple de Weibull de 2 parámetros para explicar esto. Supongamos que tenemos el siguientes tiempos de falla: 15, 34, 56, 67, 118 y 234. Las soluciones MLE son:
A continuación se muestra el gráfico 3D de los valores de probabilidad.
l eje x y el eje y son los dos parámetros β y η. El El eje z es el normalizado valor de log-verosimilitud. La solución MLE para β y η son los valores correspondiente al pico de la parcela. En la cima, el primer orden la derivada de cada parámetro es 0. La derivada de segundo orden de cada uno el parámetro es negativo porque la derivada de primer orden cambia de positivo a negativo.
Sin embargo, para la distribución Weibull de 3 parámetros, tenemos los tres casos discutido anteriormente. Para Caso 1, donde nosotros Es necesario estimar los tres parámetros, no existe una solución MLE global para γ (no hay pico global en el valor de probabilidad vs. γ gráfico), entonces no Se pueden obtener límites de confianza para γ utilizando la información de Fisher matriz. Para el caso 2, γ se da, por lo que no hay límites de confianza para γ. Para el Caso 3, donde se da β y es mayor que 2, existe un Solución MLE para γ, y los límites de confianza se pueden obtener a partir de Matriz de información de Fisher. De lo contrario, no existen límites para γ, ya sea porque no hay solución MLE para γ (cuando β < 1) o porque la solución para γ es tmin (cuando β = 1).
Un método híbrido para estimar parámetros para el Weibull de 3 parámetros Distribución
En Weibull++, proporcionamos un método híbrido para la estimación de parámetros la distribución Weibull de 3 parámetros. De forma predeterminada, el estimador de mínimos cuadrados (regresión de rangos Se utiliza el método) de γ, y se trata como fijo. Una vez que se fija γ, esto se convierte en el Caso 2 discutido anteriormente y los estimadores MLE para β y η puede ser estimado correctamente. Esto se controla mediante el uso de MLE 3-P verdadero en Casilla de verificación de Weibull en la página Cálculos de la configuración de la aplicación, que se borra de forma predeterminada.
Por ejemplo, considere el siguiente conjunto de datos: 100, 218, 334, 556, 867 y 1234.
Cuando no se selecciona Usar MLE 3-P verdadero en Weibull, se calcula Los resultados son:
γ es 28,5, que se calcula utilizando El método de estimación de mínimos cuadrados.
A continuación se muestra el gráfico de valores de probabilidad 3D.
Este gráfico muestra que existen soluciones MLE para β y η. A continuación se muestra el gráfico de probabilidad.
Este gráfico muestra que la línea de probabilidad estimada se ajusta muy bien a los puntos de datos.
Cuando se selecciona Usar MLE 3-P verdadero en Weibull, se calcula Los resultados son:
Dado que no existe un MLE verdadero cuando γ es no dado, el γ devuelto es 99% del tiempo de falla más pequeño. El MLE β y η se estiman como si el γ es fijo. (Tenga en cuenta que en la última versión de Weibull++, γ = 99,99% del tiempo de falla más pequeño, debido a cambios en el software) El gráfico de valores de probabilidad 3D es:
Este gráfico muestra que existen soluciones MLE para β y η ya que γ es tratado como fijo. A continuación se muestra el gráfico de probabilidad.
Este gráfico muestra que la línea de probabilidad estimada No se ajusta muy bien a los puntos de datos.
A partir de este ejemplo, podemos ver que la mejor manera de estimar La distribución de Weibull de 3 parámetros que utiliza MLE es utilizar el estimador de mínimos cuadrados de γ, y luego calcule la solución MLE para β y η tratando γ como fijo.
Conclusión
En este artículo, analizamos brevemente la solución MLE para el Distribución Weibull de 3 parámetros. Para un conjunto de datos determinado de la vida Durante las pruebas, normalmente no hay información disponible sobre los tres parámetros. Todos los parámetros deben estimarse y los usuarios deben elegir cómo para estimarlos. Recomendamos utilizar el método híbrido proporcionado en Weibull++ para evitar los problemas inherentes al parámetro MLE estimación con tres parámetros desconocidos. Para obtener más información sobre la estimación de parámetros, por favor consulte http://reliawiki.org/index.php/Parameter_Estimation.
Referencias
[1] R. L. Smith, “Estimación de máxima verosimilitud en una clase de Casos no regulares,” Biometrika, vol. 72, no. 1, págs. 67-90.
[2] H. Hirose, “Estimación de máxima verosimilitud en Weibull de 3 parámetros Distribución: Una mirada al valor extremo generalizado Distribución,” Transacción IEEE sobre dieléctricos y electricidad Aislamiento, vol.3, no.1, págs. 43-55.
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