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jueves, 5 de febrero de 2026

Conceptos de estadística y probabilidad previos a ingeniería de confiabilidad

Puedes explicarme los conceptos de estadística y probabilidad para poder entender la libreria reliability de Python

¡Claro! Entender los conceptos de estadística y probabilidad es fundamental para sacarle el máximo provecho a la librería reliability. Permíteme explicarte lo esencial:

Estadística

La estadística es la ciencia que se encarga de recopilar, organizar, analizar, interpretar y presentar datos. En el contexto de la ingeniería de confiabilidad y la librería reliability, la estadística se utiliza para:

Describir datos de falla: Imagina que tienes un conjunto de datos sobre cuándo fallan ciertos componentes. La estadística te ayuda a resumir estos datos, por ejemplo, calculando el tiempo medio hasta la falla (MTTF), la varianza de esos tiempos (qué tan dispersos están) o la desviación estándar. La librería reliability te permite ajustar distribuciones a estos datos y obtener estas métricas descriptivas de las distribuciones ajustadas.
Modelar el comportamiento de falla: A través de métodos estadísticos, podemos encontrar una distribución de probabilidad (como la Weibull, Lognormal, Exponencial, etc.) que mejor se ajuste a nuestros datos históricos de falla. Esta distribución luego nos permite hacer inferencias y predicciones.
Evaluar la bondad del ajuste: Una vez que ajustamos un modelo, la estadística nos proporciona herramientas para saber qué tan bien ese modelo representa los datos. Criterios como AICc, BIC y AD (Anderson-Darling) te ayudan a comparar diferentes modelos y elegir el más adecuado.

Probabilidad

La probabilidad es la rama de las matemáticas que estudia los fenómenos aleatorios. Nos permite cuantificar la incertidumbre. En el contexto de reliability:

Predecir fallas: La probabilidad es el lenguaje de la confiabilidad. Las funciones clave de la librería reliability se basan en conceptos probabilísticos:
- Función de Densidad de Probabilidad (PDF): Indica la probabilidad relativa de que una variable aleatoria tome un valor dado. En confiabilidad, nos muestra la probabilidad de falla en un momento específico.
- Función de Distribución Acumulativa (CDF): Representa la probabilidad de que un componente falle antes o en un tiempo determinado. Si un CDF es 0.1 en t=100 horas, significa que hay un 10% de probabilidad de que el componente falle antes de las 100 horas.
- Función de Supervivencia (SF) o Función de Confiabilidad: Es lo opuesto al CDF. Muestra la probabilidad de que un componente sobreviva (no falle) hasta o después de un tiempo determinado. Un SF de 0.9 en t=100 horas significa que hay un 90% de probabilidad de que el componente funcione correctamente hasta las 100 horas.
- Función de Riesgo (HF) o Tasa de Falla: Indica la tasa instantánea de falla en un tiempo dado, dado que el componente ha sobrevivido hasta ese momento. Es crucial para entender cómo cambia la probabilidad de falla a lo largo del tiempo (por ejemplo, en la famosa

viernes, 18 de abril de 2025

ReliaWiki, Estimacion de parametros de confiabilidad por el metodo de minimos cuadrados.

Mínimos cuadrados (regresión de rangos)

Utilizando la idea del gráfico de probabilidad, el análisis de regresión ajusta matemáticamente la mejor línea recta a un conjunto de puntos, en un intento de estimar los parámetros. Esencialmente, esta es una versión matemática del método de trazado de probabilidades discutido anteriormente.

El método de mínimos cuadrados lineales se utiliza para todos los análisis de regresión realizados por Weibull++, excepto en los casos de las distribuciones Weibull de 3 parámetros, Weibull mixta, gamma y gamma generalizada, donde se emplea una técnica de regresión no lineal. los términos regresión lineal y mínimos cuadrados En esta referencia se utilizan como sinónimos En Weibull++, el término La regresión de rango se utiliza en lugar de mínimos cuadrados o regresión lineal, porque la regresión se realiza en los valores de rango, más específicamente, los valores de rango mediano (representados en el eje y). El método de mínimos cuadrados requiere que se ajuste una línea recta a un conjunto de puntos de datos, de modo que se minimice la suma de los cuadrados de la distancia de los puntos a la línea ajustada. Esta minimización se puede realizar en dirección vertical u horizontal. Si la regresión está en $X\,\!$ , luego la línea se ajusta de manera que se minimicen las desviaciones horizontales de los puntos a la línea. Si la regresión es en Y, entonces esto significa que la distancia de las desviaciones verticales desde los puntos a la recta se minimiza. Esto se ilustra en la siguiente figura.

Regresión de rango en Y

Supongamos que un conjunto de pares de datos $({{x}_{1}},{{y}_{1}})\,\!$ , $({{x}_{2}},{{y}_{2}})\,\!$ ,..., $({{x}_{N}},{{y}_{N}})\,\!$ fueron obtenidos y trazados, y que el $x\,\!$ -Los valores se conocen exactamente. Entonces, según el principio de mínimos cuadrados, que minimiza la distancia vertical entre los puntos de datos y la línea recta ajustada a los datos, la línea recta que mejor se ajusta a estos datos es la línea recta $y={\hat {a}}+{\hat {b}}x\,\!$ (donde el recientemente introducido ( ${\sombrero {}}\,\!$ ) el símbolo indica que este valor es una estimación) tal que:

\sum \limits _{i=1}^{N}{{{\left({\hat {a}}+{\hat {b}}{{x}_{i}}-{{ y}_{i}}\right)}^{2}}=\min \sum \limits _{i=1}^{N}{{\left(a+b{{x}_{i}}-{{y}_{i}}\right)}^{2}}}\,\ !

y donde ${\sombrero {a))\,\!$ y ${\sombrero {b))\,\!$ son los estimaciones de mínimos cuadrados de $a\,\!$ y $b\,\!$ , y $N\,\!$ es el número de puntos de datos. Estas ecuaciones se minimizan mediante estimaciones de ${\widehat {a))\,\!$ y ${\widehat {b))\,\!$ tal que:

{\hat {a}}={\frac {{\underset {i=1}{\overset {N}{\mathop {\sum } }}}\,{{y}_{i}} }{N}}-{\hat {b}}{\frac {{\underset {i=1}{\overset {N}{\mathop {\sum } }}}\,{{x}_{i }}}{N}}={\bar {y}}-{\hat {b}}{\bar {x}}\,\!

{\hat {b}}={\frac {{\underset {i=1}{\overset {N}{\mathop {\sum } }}}\,{{x}_{i}} {{y}_{i}}-{\tfrac {{\underset {i=1}{\overset {N}{\mathop {\sum } }}}\,{{x}_{i}}{ \underset {i=1}{\overset {N}{\mathop {\suma} }}}\,{{y}_{i}}}{N}}}{{\subset {i=1}{\overset {N}{\mathop {\sum } }}}\,x_{i }^{2}-{\tfrac {{\left({\underset {i=1}{\overset {N}{\mathop {\sum } }}}\,{{x}_{i}}\ derecha)}^{2}}{N}}}}\,\!

Regresión de rango en X

Supongamos que un conjunto de pares de datos... $({{x}_{2}},{{y}_{2}})\,\!$ ,..., $({{x}_{N}},{{y}_{N}})\,\!$ se obtuvieron y representaron, y que los valores de y se conocen exactamente. Se aplica el mismo principio de mínimos cuadrados, pero esta vez minimizando la distancia horizontal entre los puntos de datos y la línea recta ajustada a los datos. La línea recta que mejor se ajusta a estos datos es la línea recta $x={\widehat {a}}+{\widehat {b}}y\,\!$ tal que:

{\underset {i=1}{\overset {N}{\mathop {\sum } }}}\,{{({\widehat {a}}+{\widehat {b}}{{y }_{i}}-{{x}_{i}})}^{2}}=min(a,b){\underset {i=1}{\overset {N}{\mathop {\sum } }}}\,{{(a+b{{y}_{i}}-{{x}_{i}})}^{2}}\,\!

De nuevo, ${\widehat {a))\,\!$ y ${\widehat {b))\,\!$ son las estimaciones de mínimos cuadrados de y $b\,\!$ , y $N\,\!$ es el número de puntos de datos. Estas ecuaciones se minimizan mediante estimaciones de ${\widehat {a))\,\!$ y ${\widehat {b))\,\!$ tal que:

{\hat {a}}={\frac {{\underset {i=1}{\overset {N}{\mathop {\sum } }}}\,{{x}_{i}} }{N}}-{\hat {b}}{\frac {{\underset {i=1}{\overset {N}{\mathop {\sum } }}}\,{{y}_{i }}}{N}}={\bar {x}}-{\hat {b}}{\bar {y}}\,\!

{\widehat {b}}={\frac {{\underset {i=1}{\overset {N}{\mathop {\sum } }}}\,{{x}_{i}} {{y}_{i}}-{\tfrac {{\underset {i=1}{\overset {N}{\mathop {\sum } }}}\,{{x}_{i}}{ \underset {i=1}{\overset {N}{\mathop {\suma} }}}\,{{y}_{i}}}{N}}}{{\subset {i=1}{\overset {N}{\mathop {\sum } }}}\,y_{i }^{2}-{\tfrac {{\left({\underset {i=1}{\overset {N}{\mathop {\sum } }}}\,{{y}_{i}}\ derecha)}^{2}}{N}}}}\,\!

Las relaciones correspondientes para determinar los parámetros de distribuciones específicas (es decir, Weibull, exponencial, etc.) se presentan en los capítulos que cubren esa distribución.

Coeficiente de correlación

El coeficiente de correlación es una medida de qué tan bien se ajusta el modelo de regresión lineal a los datos y generalmente se denota por $\rho \,\!$ . En el caso del análisis de datos de vida, es una medida de la fuerza de la relación lineal (correlación) entre los rangos medianos y los datos. El coeficiente de correlación poblacional se define de la siguiente manera:

\rho ={\frac {{\sigma }_{xy}}{{{\sigma }_{x}}{{\sigma }_{y}}}}\,\!

dónde ${{\sigma }_{xy}}=\,\!$ covarianza de $x\,\!$ y $y\,\!$ , ${{\sigma }_{x}}=\,\!$ desviación estándar de $x\,\!$ , y ${{\sigma }_{y}}=\,\!$ desviación estándar de $y\,\!$ .

El estimador de $\rho \,\!$ es el coeficiente de correlación muestral, ${\sombrero {\rho }}\,\!$ , dado por:

{\hat {\rho }}={\frac {{\underset {i=1}{\overset {N}{\mathop {\sum } }}}\,{{x}_{i} }{{y}_{i}}-{\tfrac {{\underset {i=1}{\overset {N}{\mathop {\sum } }}}\,{{x}_{i}} {\underset {i=1}{\overset {N}{\mathop {\suma} }}}\,{{y}_{i}}}{N}}}{\sqrt {\left({\underset {i=1}{\overset {N}{\mathop {\sum } }} }\,x_{i}^{2}-{\tfrac {{\left({\underset {i=1}{\overset {N}{\mathop {\sum } }}}\,{{x} _{i}}\right)}^{2}}{N}}\right)\left({\underset {i=1}{\overset) {N}{\mathop {\sum } }}}\,y_{i}^{2}-{\tfrac {{\left({\underset {i=1}{\overset {N}{\mathop { \sum } }}}\,{{y}_{i}}\right)}^{2}}{N}}\right)}}}\,\!

el rango de ${\sombrero {\rho }}\,\!$ es $-1\leq {\hat {\rho }}\leq 1\,\!$ .

Cuanto más se acerque el valor a $\pm 1\,\!$ , mejor será el ajuste lineal. Tenga en cuenta que +1 indica un ajuste perfecto (los valores emparejados ( ${{x}_{i}},{{y}_{i}}\,\!$ ) se encuentran en una línea recta) con pendiente positiva, mientras que -1 indica un ajuste perfecto con pendiente negativa. Un valor del coeficiente de correlación de cero indicaría que los datos están dispersos aleatoriamente y no tienen ningún patrón o correlación en relación con el modelo de línea de regresión.

Comentarios sobre el método de los mínimos cuadrados

El método de estimación de mínimos cuadrados es bastante bueno para funciones que pueden linealizarse. Para estas distribuciones, los cálculos son relativamente fáciles y directos, y tienen soluciones de forma cerrada que pueden arrojar fácilmente una respuesta sin tener que recurrir a técnicas numéricas o tablas. Además, esta técnica proporciona una buena medida de la bondad de ajuste de la distribución elegida en el coeficiente de correlación. Los mínimos cuadrados generalmente se utilizan mejor con conjuntos de datos que contienen datos completos, es decir, datos que consisten únicamente en tiempos únicos hasta el fallo sin datos censurados o de intervalo. (Ver Clasificación de datos de vida para obtener información sobre los diferentes tipos de datos, incluidos datos completos, censurados por la izquierda, censurados por la derecha (o suspendidos) y de intervalo).

Primer ejemplo de trazado de confiabilidad. (fuente: Reliawiki.org) # Confiabilidad

Estimación de parámetros

El término estimación de parámetros se refiere al proceso de utilizar datos de muestra (en ingeniería de confiabilidad, generalmente datos de tiempos de falla o de éxito) para estimar los parámetros de la distribución seleccionada. Hay varios métodos de estimación de parámetros disponibles. Esta sección presenta una descripción general de los métodos disponibles utilizados en el análisis de datos de vida. Más específicamente, comenzamos con el método relativamente simple de trazado de probabilidad y continuamos con los métodos más sofisticados de regresión de rangos (o mínimos cuadrados), estimación de máxima verosimilitud y métodos de estimación bayesianos.

Trazado de probabilidad

El método menos intensivo desde el punto de vista matemático para la estimación de parámetros es el método de trazado de probabilidades. Como el término lo implica, el trazado de probabilidad implica un trazado físico de los datos en papel de trazado de probabilidad. Este método se implementa fácilmente a mano, dado que se puede obtener el papel trazador de probabilidades adecuado.

El método de trazado de probabilidad toma la CDF (funcion de distribucion acumulativa) de la distribución e intenta linealizarla empleando un papel especialmente construido. Las siguientes secciones ilustran los pasos de este método utilizando la distribución de Weibull de 2 parámetros como ejemplo. Esto incluye:

Linealizar la función de falta de fiabilidad
Construya el papel de trazado de probabilidad
Determinar las posiciones X e Y de los puntos de la trama

Y luego usar la trama para leer cualquier tiempo particular o valor de confiabilidad/falta de confiabilidad de interés.

Linealización de la función de falta de fiabilidad

En el caso del Weibull de 2 parámetros, la cdf (también la falta de fiabilidad $Q(t)\,\!$ ) está dada por:

F(t)=Q(t)=1-{e^{-\left({\tfrac {t}{\eta }}\right)^{\beta }}}\,\!

Esta función puede entonces ser linealizada (es decir, puesta en la forma común de $y=m'x+b\,\!$ formato) de la siguiente manera :

{\begin{aligned}Q(t)=&1-{e^{-\left({\tfrac {t}{\eta }}\right)^{\beta }}}\\\ln( 1-Q(t))=&\ln \left[{e^{-\left({\tfrac {t}{\eta }}\right)^{\beta }}}\right]\\\ln (1-Q(t))=&-\left({\tfrac {t}{\eta }}\right)^{\beta }\\\ln(-\ln(1-Q(t))) =&\beta \left(\ln \left({\frac {t}{\eta }}\right)\right)\\\ln \left(\ln \left({\frac {1}{1- Q(t)}}\right)\right)=&\beta \ln {t}-\beta \ln {\eta }\\\end{aligned}}\,\!

Luego, configurando:

y=\ln \left(\ln \left({\frac {1}{1-Q(t)}}\right)\right)\,\!

x=\ln \left(t\right)\,\!

la ecuación se puede reescribir como:

y=\beta x-\beta \ln \left(\eta \right)\,\!

que ahora es una ecuación lineal con una pendiente de:

{\begin{aligned}m=\beta \end{aligned}}\,\!

y un intercepto de:

b=-\beta \cdot \ln(\eta )\,\!

Construyendo el papel

La siguiente tarea es construir el papel trazador de probabilidad de Weibull con los ejes y y x apropiados. La transformación del eje x es simplemente logarítmica. El eje y es un poco más complejo y requiere una transformación recíproca logarítmica doble, o:

y=\ln \left(\ln \left({\frac {1}{1-Q(t)}})\right)\right)\,\!

dónde $Q(t)\,\!$ es la falta de confiabilidad.

Estos documentos han sido creados por diferentes proveedores y se denominan Papeles de trazado de probabilidad .

Para ilustrarlo, considere el siguiente gráfico de probabilidad en un tipo ligeramente diferente de documento de probabilidad de Weibull.

Diferente papel weibull.png

Este artículo está construido en base a las transformaciones y y x mencionadas, donde el eje y representa la falta de confiabilidad y el eje x representa el tiempo. Ambos valores deben conocerse para cada punto de tiempo hasta la falla que queramos trazar.

Entonces, dada la $y\,\!$ y $x\,\!$ valor para cada punto, los puntos se pueden poner fácilmente en la gráfica. Una vez colocados los puntos en el gráfico, se traza la mejor línea recta posible a través de estos puntos. Una vez dibujada la línea, se puede obtener su pendiente (algunos artículos de probabilidad incluyen un indicador de pendiente para simplificar este cálculo). Este es el parámetro $\beta \,\!$ , que es el valor de la pendiente. Para determinar el parámetro de escala, $\eta\,\!$ (también llamado el vida característica ), se lee el tiempo en el eje x correspondiente a $Q(t)=63,2\%\,\!$ .

Tenga en cuenta que en:

{\begin{aligned}Q(t=\eta )=&1-{{e}^{-{{\left({\tfrac {t}{\eta}}\right)}^{\beta }}}}\\=&1-{{e}^{-1}}\\=&0.632\\=&63.2\%\end{aligned}}\,\!

Por lo tanto, si ingresamos el y eje $Q(t)=63,2\%\,\!$ , el valor correspondiente de $t\,\!$ será igual a $\eta\,\!$ . Así, utilizando esta sencilla metodología, se pueden estimar los parámetros de la distribución de Weibull.

Determinación de la posición X e Y de los puntos del gráfico

Los puntos en el gráfico representan nuestros datos o, más específicamente, nuestros datos de tiempos de falla. Si, por ejemplo, probáramos cuatro unidades que fallaron a las 10, 20, 30 y 40 horas, entonces usaríamos estos tiempos como nuestro x o valores de tiempo.

Determinar las posiciones apropiadas de y , o los valores de falta de confiabilidad, es un poco más complejo. Para determinar el Al trazar posiciones, primero debemos determinar un valor que indique la falta de confiabilidad correspondiente a esa falla. En otras palabras, necesitamos obtener el porcentaje acumulado de fallas para cada tiempo hasta la falla. Por ejemplo, el porcentaje acumulado de fallas a las 10 horas puede ser del 25 %, a las 20 horas del 50 %, y así sucesivamente. Este es un método simple que ilustra la idea. El problema con este método simple es el hecho de que el punto del 100% no está definido en la mayoría de los gráficos de probabilidad; por lo tanto, se debe utilizar un enfoque alternativo y más sólido. El método más utilizado para determinar este valor es el método de obtención del rango medio para cada falla, como se analiza a continuación.

Rangos medianos

El método de rangos medianos se utiliza para obtener una estimación de la falta de confiabilidad de cada falla. El rango mediano es el valor que tiene la verdadera probabilidad de falla, $Q({{T}_{j}})\,\!$ , debería tener en el ${{j}^{th}}\,\!$ fracaso de una muestra de $N\,\!$ unidades al nivel de confianza del 50%.

La clasificación se puede encontrar para cualquier punto porcentual, $P\,\!$ , mayor que cero y menor que uno, resolviendo la ecuación binomial acumulativa para $Z\,\!$ . Esto representa el rango, o estimación de falta de confiabilidad, para el ${{j}^{th}}\,\!$ fallo en la siguiente ecuación para el binomio acumulativo:

P={\underset {k=j}{\overset {N}{\mathop {\sum } }}}\,\left({\begin{matrix}N\\k\\\end{matriz }}\right){{Z}^{k}}{{\left(1-Z\right)}^{Nk}}\,\!

dónde $N\,\!$ es el tamaño de la muestra y $j\,\!$ el número de pedido.

El rango mediano se obtiene resolviendo esta ecuación para $Z\,\!$ en $P=0,50\,\!$ :

0.50={\underset {k=j}{\overset {N}{\mathop {\sum } }}}\,\left({\begin{matrix}N\\k\\\end{matrix }}\right){{Z}^{k}}{{\left(1-Z\right)}^{Nk}}\,\!

Por ejemplo, si $N=4\,\!$ y tenemos cuatro fracasos, resolveríamos la ecuación de rango mediano para el valor de $Z\,\!$ cuatro veces; una vez por cada falla con $j=1,2,3{\text{ y }}4\,\!$ . Este resultado puede usarse luego como estimación de la falta de confiabilidad para cada falla o como estimación de la falta de confiabilidad. $y\,\!$ posición de trazado. (Ver también La distribución de Weibull para ver un ejemplo paso a paso de este método.) La solución de la ecuación binomial acumulativa para $Z\,\!$ requiere el uso de métodos numéricos.

Enfoque de distribuciones Beta y F

Un método más directo y sencillo para estimar los rangos medianos es aplicar dos transformaciones a la ecuación binomial acumulativa, primero a la distribución beta y luego a la distribución F, lo que da como resultado [12, 13] :

{\begin{array}{*{35}{l}}MR&=&{\tfrac {1}{1+{\tfrac {N-j+1}{j}}{{F}_{ 0.50;m;n}}}}\\m&=&2(N-j+1)\\n&=&2j\\\end{array}}\,\!

dónde ${{F}_{0.50;m;n}}\,\!$ denota el $F\,\!$ distribución en el punto 0,50, con $m\,\!$ y $n\,\!$ grados de libertad, por falla $j\,\!$ fuera de $N\,\!$ unidades.

Aproximación de Benard para rangos medianos

Otra aproximación rápida y menos precisa de los rangos medianos también viene dada por:

MR={\frac {j-0.3}{N+0.4}}\,\!

Esta aproximación de los rangos medianos también se conoce como aproximación de Benard .

Kaplan-Meier

El estimador de Kaplan-Meier (también conocido como estimador del límite del producto ) se utiliza como alternativa al método de rangos medianos para calcular las estimaciones de la falta de confiabilidad con fines de trazado de probabilidad. La ecuación del estimador viene dada por:

{\widehat {F}}({{t}_{i}})=1-{\underset {j=1}{\overset {i}{\mathop {\prod } }}}\, {\frac {{{n}_{j}}-{{r}_{j}}}{{n}_{j}}},{\text{ }}i=1,...,m \,\!

dónde:

{\begin{aligned}m=&{\text{número total de puntos de datos}}\\n=&{\text{el número total de unidades}}\\{n_{i}}=&n- \sum _{j=0}^{i-1}{s_{j}}-\sum _{j=0}^{i-1}{r_{j}},{\text{i = 1, ...,metro }}\\{r_{j}}=&{\text{ número de fallas en el }}{j^{th}}{\text{ grupo de datos, y}}\\{s_{j}}=& {\text{número de unidades supervivientes en el }}{j^{th}}{\text{ grupo de datos}}\\\end{aligned}}\,\!

Ejemplo de trazado de probabilidad

Esta misma metodología se puede aplicar a otras distribuciones con CDF que se pueden linealizar. Existen diferentes artículos de probabilidad para cada distribución, porque diferentes distribuciones tienen diferentes CDF . Las herramientas de software de ReliaSoft crean automáticamente estos gráficos para usted. Las escalas especiales en estos gráficos le permiten derivar las estimaciones de los parámetros directamente de los gráficos, de manera similar a la forma $\beta \,\!$ y $\eta\,\!$ se obtuvieron del gráfico de probabilidad de Weibull. El siguiente ejemplo demuestra el método nuevamente, esta vez usando la distribución exponencial de 1 parámetro.

Supongamos que se prueba la confiabilidad de seis unidades idénticas en la misma aplicación y operación. niveles de estrés. Todas estas unidades fallan durante la prueba después de operar durante los siguientes tiempos (en horas): 96, 257, 498, 763, 1051 y 1744.

Los pasos para utilizar el método de trazado de probabilidad para determinar los parámetros del exponencial pdf que representa el los datos son los siguientes:

Clasifique los tiempos de falla en orden ascendente como se muestra a continuación.

{\begin{matrix}{\text{Fallo}}&{\text{Número de pedido fallido}}\\{\text{Tiempo (horas)}}&{\text{fuera de un tamaño de muestra de 6}}\\{\text{96}}&{\text{1}}\\{\text{257}}&{\text{2}}\\{\text{498}}&{\text {3}}\\{\texto{76 3}}&{\text{4}}\\{\text{1,051}}&{\text{5}}\\{\text{1,744}}&{\text{6}}\\\end{ matriz}}\,\!

Obtenga su rango medio trazando posiciones. Las posiciones de clasificación media se utilizan en lugar de otros métodos de clasificación porque las clasificaciones medianas están en un nivel de confianza específico (50%).

Los tiempos hasta el fracaso, con sus correspondientes rangos medios, se muestran a continuación:

{\begin{matrix}{\text{Fallo}}&{\text{Mediana}}\\{\text{Tiempo (horas)}}&{\text{Rango, }}\%\\{\text{96}}&{\text{10}}{\text{.91}}\\{\text{257}}&{\text{26}}{\text{ .44}}\\{\text{498}}&{\text{42}}{\text{.14}}\\{\text{7 63}}&{\text{57}}{\text{.86}}\\{\text{1,051}}&{\text{73}}{\text{.56}}\\{\text{ 1,744}}&{\text{89}}{\text{.10}}\\\end{matrix}}\,\!

En un papel de probabilidad exponencial, traza los tiempos en el eje x y sus correspondientes valor de clasificación en el eje y. La siguiente figura muestra un ejemplo de un artículo de probabilidad exponencial. El El papel es simplemente un papel log-lineal.

ALTA4.1.png

Traza la mejor línea recta posible que pase por el $t=0\,\!$ y $(t)=100\%\,\!$ punto y a través de los puntos trazados (como se muestra en el gráfico siguiente).

Al $Q(t)=63,2\%\,\!$ o $R(t)=36,8\%\,\!$ punto de ordenadas, dibuja un línea recta horizontal hasta que esta línea se cruce con la línea recta ajustada. Dibuja una línea vertical a través de esta intersección hasta que cruce la abscisa. El valor en la intersección de las abscisas es la estimación de la media. Para este caso, ${\widehat {\mu }}=833\,\!$ horas lo que significa que $\lambda ={\tfrac {1}{\mu }}=0.0012\,\!$ (Esto siempre es del 63,2% porque $(T)=1-{{e}^{-{\tfrac {\mu }{\mu }}}}=1-{{e}^{-1}}=0,632=63,2\%) \,\!$ .

ALTA4.2.png

Ahora cualquier valor de confiabilidad para cualquier tiempo de misión. $t\,\!$ se puede obtener. Por ejemplo, el La confiabilidad para una misión de 15 horas, o en cualquier otro momento, ahora se puede obtener a partir de la trama o analíticamente.

Para obtener el valor del gráfico, dibuje una línea vertical desde la abscisa, en $t=15\,\!$ horas, hasta la línea ajustada. Dibuja una línea horizontal desde esta intersección hasta la ordenada y lee $R(t)\,\!$ . En este caso, $R(t=15)=98,15\%\,\!$ . Esto también se puede obtener analíticamente, a partir de la función de confiabilidad exponencial.

Comentarios sobre el método de trazado de probabilidad

Además del inconveniente más obvio del trazado de probabilidades, que es la cantidad de esfuerzo requerido, el trazado de probabilidades manual no siempre es consistente en los resultados. Dos personas que trazan una línea recta a través de un conjunto de puntos no siempre trazarán esta línea de la misma manera y, por lo tanto, obtendrán resultados ligeramente diferentes. Este método se utilizó principalmente antes del uso generalizado de computadoras que podían realizar fácilmente los cálculos para métodos de estimación de parámetros más complicados, como los métodos de mínimos cuadrados y máxima verosimilitud.

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