Fuente: https://help.reliasoft.com/articles/content/hotwire/issue110/hottopics110.htm
Otra mirada al parámetro de forma de la distribución Weibull (Beta)
[Nota del editor: Este artículo ha sido actualizado desde su publicación original para reflejar una visión más aproximada a la versión reciente de la interfaz del software.]
Es bien sabido que el parámetro de forma de la distribución de Weibull, beta (β), representa el comportamiento de la tasa de fallas. Si beta < 1, entonces La tasa de fallas disminuye con el tiempo; si beta > 1, entonces la tasa de falla aumenta con el tiempo. Cuando beta = 1, la tasa de fallas es constante.
Asumir que tenemos dos conjuntos de datos de fallas. De un conjunto de datos, la beta estimada es 5; de Otro conjunto de datos, la beta estimada es 3. Ambos tienen tasas de fracaso crecientes. Si Los dos conjuntos de datos se combinaron, ¿Cuál sería la beta estimada para el total?. El conjunto de datos debe tener un valor entre 3 y 5, ¿o sería un valor fuera de este rango? Podría ser menor que 1, lo que implicaría que el conjunto de datos combinado tiene una tasa de fallas decreciente. ¿Qué está disminuyendo con el tiempo? En el artículo, Usaremos ejemplos para mostrar la relación entre estas betas.
Para responder a las preguntas anteriores, analizaremos el tema desde otro punto de vista de perspectiva. Supongamos que existe un único conjunto de datos de vida que se ajusta utilizando un Weibull distribución. Este conjunto de datos tiene un parámetro de forma β. Si separamos los datos en dos grupos y ajustamos cada grupo con una distribución Weibull separada, obtenga β1 y β2 como parámetros de forma de los dos grupos. Si suponemos que β1 < β2, ¿β1 < β < β2 siempre será verdadero, o lo es ¿Existe alguna otra relación entre estos valores beta?
Supongamos que un ingeniero de pruebas obtuvo los datos de vida que se muestran en la Tabla 1. Según la experiencia previa, se debe utilizar la distribución Weibull de 2 parámetros para ajustar los datos. El análisis utilizando Weibull++ muestra que β = 0,9812 y η = 73,6036, como se muestra en la Figura 1.
Tabla 1: Datos de falla
| Estado (F o S) | Es hora de declarar | Índice de artículos |
| F | 2 | 1 |
| S | 3 | 2 |
| F | 5 | 3 |
| S | 7 | 4 |
| F | 11 | 5 |
| S | 13 | 6 |
| S | 17 | 7 |
| S | 19 | 8 |
| F | 23 | 9 |
| F | 29 | 10 |
| S | 31 | 11 |
| F | 37 | 12 |
| S | 41 | 13 |
| F | 43 | 14 |
| S | 47 | 15 |
| S | 53 | 16 |
| F | 59 | 17 |
| S | 61 | 18 |
| S | 69 | 19 |
| F | 75 | 20 |
Figura 1: Análisis de datos para El conjunto completo de datos
Para ilustrar los parámetros de los subgrupos, extraemos diferentes subgrupos del conjunto de datos completo. Podríamos utilizar diferentes métodos para lograr esto. Para el primer método, separamos los datos del punto medio de todo el grupo. Nosotros Clasifique los elementos de falla temprana como "Subgrupo I" y la falla posterior artículos como "Subgrupo II" Estos dos subgrupos se enumeran en la Tabla 2.
Tabla 2: Método I Datos del subgrupo
| Subgrupo I (Temprano) | Subgrupo II (Más tarde) | |||
| Índice de artículos | Estado (F o S) | Es hora de declarar | Estado (F o S) | Es hora de declarar |
| 1 | F | 2 | S | 31 |
| 2 | S | 3 | F | 37 |
| 3 | F | 5 | S | 41 |
| 4 | S | 7 | F | 43 |
| 5 | F | 11 | S | 47 |
| 6 | S | 13 | S | 53 |
| 7 | S | 17 | F | 59 |
| 8 | S | 19 | S | 61 |
| 9 | F | 23 | S | 69 |
| 10 | F | 29 | F | 75 |
Tabla 3: Método II Datos del subgrupo
| Subgrupo I (Incluso) | Subgrupo II (Extraño) | |||
| Índice de artículos | Estado (F o S) | Es hora de declarar | Estado (F o S) | Es hora de declarar |
| 1 | S | 3 | F | 2 |
| 2 | S | 7 | F | 5 |
| 3 | S | 13 | F | 11 |
| 4 | S | 19 | S | 17 |
| 5 | F | 29 | F | 23 |
| 6 | F | 37 | S | 31 |
| 7 | F | 43 | S | 41 |
| 8 | S | 53 | S | 47 |
| 9 | S | 61 | F | 59 |
| 10 | F | 75 | S | 69 |
El análisis utilizando la distribución Weibull de 2 parámetros muestra que Subgrupo I (Impar) tiene β1' = 0,7419 y η1' = 62,4596, mientras que El subgrupo II (par) tiene β2' = 2,4834 y η2' = 61,4978.
Como podemos ver, para el primer método, β < β1 < β2, y para el segundo método, β1' < β < β2'. Entonces depende de cómo se extrajo el subgrupo a partir de los datos originales. De los ejemplos anteriores también podemos ver que sí no existe una relación fija entre estas betas.
Ahora examinemos la definición de la desviación estándar del Weibull distribución:
donde 
es la gamma función evaluada en el valor de 
.
La Tabla 4 enumera los valores de desviación estándar para el grupo general y para cada uno subgrupo.
Tabla 4: Parámetros de distribución para diferentes subgrupos
| Todo el grupo | Subgrupo Temprano | Subgrupo más tarde | Subgrupo extraño | Subgrupo Incluso | |
| β | 0,981 | 1.105 | 3.6717 | 0,7419 | 2.4834 |
| « | 73.6036 | 24.0872 | 70,8740 | 62.4596 | 61.4978 |
| 1/β | 1.0941 | 0,9050 | 0,2724 | 1.3479 | 0,4027 |
| σT (estándar desviación) | 75,63642 | 21.0307 | 19.3781 | 102,75802 | 23.4846 |
Podemos ver que la relación entre el 1/β de todo el grupo y Cada uno de los subgrupos es similar a las relaciones de sus desviaciones estándar σT. En otras palabras, 1/β aproximadamente refleja la desviación estándar de la distribución. Por ejemplo, en nuestro primer método de clasificación I, ya que 1/β para todo el grupo es mayor que cualquiera de los dos subgrupo; entonces su σT es mayor que cualquiera de los subgrupos.
Será aún más claro si utilizamos la transformación logarítmica de los datos sin procesar para ajustar una distribución de Gumbel. Como sabemos, la transformada logarítmica de los datos de Weibull sigue la distribución de Gumbel con μ = ln(η) y 
, donde μ es el parámetro de ubicación y σ es el parámetro de escala de la distribución de Gumbel. El La desviación estándar para la distribución de Gumbel viene dada por:
Conclusiones
En este artículo respondimos la pregunta sobre la relación entre la beta para todo el conjunto de datos y las betas para los subgrupos de ese conjunto de datos. Como podemos Mirar, esta relación no es fija y puede cambiar. Además, 1/β puede ser interpretado como algo similar a la desviación estándar de un dato set. Entonces, 1/β no solo representa el comportamiento de la tasa de fallas, sino que también refleja la difusión de un conjunto de datos.
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