Recuerdo que un profesor de termodinámica en la universidad en cada clase de miércoles y viernes a las 6 am, preguntaba: "¿De que tamaño es la patica si cometemos esta imprecisión?", refiriéndose a la expresión coloquial de "meter la pata", cometiendo errores comunes en el manejo de unidades termodinámicas en los cálculos de las propiedades de fluidos energéticos, pues este articulo de reliawiki nos ilustra sobre de que tamaño es la "patica" si nos equivocamos en suponer como ajustada una distribución de probabilidad que realmente no lo es tanto.
¿Qué tan bueno es el ajuste de su distribución supuesta?
[Nota del editor: Este artículo ha sido actualizado desde su publicación original para reflejar una visión más versión reciente de la interfaz del software.]
Después de ajustar un modelo de distribución a un conjunto de datos al realizar el análisis de datos de vida, a menudo nos interesa diagnosticar el ajuste del modelo o comparar el ajuste de diferentes distribuciones. Además de los conocimientos de ingeniería que siempre deben regir la elección de un modelo de distribución, hay muchos Herramientas estadísticas que pueden ayudar a decidir si el modelo de una distribución es o no es una buena opción desde un punto de vista estadístico.
Estas herramientas también se pueden utilizar para comparar el ajuste de diferentes distribuciones. Este artículo presenta un estudio de varias herramientas estadísticas disponibles en Weibull++ que pueden usarse para evaluar el ajuste de un modelo de distribución y compararlo con otras distribuciones.
Para el resto de este artículo, lo haremos Utilice el siguiente conjunto de datos para explicar las diferentes formas de evaluar el ajuste de una o múltiples distribuciones. Para realizar comparaciones, utilizaremos como ejemplo la distribución de Weibull y la distribución exponencial. (Nota, sin embargo, que el concepto puede utilizarse para comparar más de dos distribuciones.)
Tabla 1: Conjunto de datos de muestra
Fallo Tiempos |
43 |
68 |
74 |
77 |
80 |
91 |
99 |
103 |
103 |
166 |
Gráficos de probabilidad
El trazado de probabilidad es un método gráfico que permite una evaluación visual del ajuste del modelo. Una vez estimados los parámetros del modelo, el puede crear un gráfico de probabilidad. La siguiente figura muestra una comparación de los Gráficos de probabilidad de dos opciones de distribuciones utilizando el mismo conjunto de datos.
Figura 1: Comparación de los gráficos de probabilidad de dos distribuciones utilizando el mismo conjunto de datos
Las tramas muestran que el Weibull La distribución se ajusta bien a los datos y se ajusta mejor que la exponencial distribución.
Nota:
Coeficiente de correlación
El coeficiente de correlación, generalmente denotado por ρ (Rho), es una medida de qué tan bien El modelo de regresión lineal (la línea de probabilidad) se ajusta a los datos. En el caso del análisis de datos de vida, es una medida de la fuerza de la relación lineal entre los rangos medianos y los datos tal como se representan en la escala de probabilidad. Dependiendo del modelo de probabilidad utilizado, los tiempos ‑hasta‑ el fracaso, la mediana Los rangos, o ambos, pueden transformarse para este propósito.
El coeficiente de correlación poblacional se define de la siguiente manera:
donde σxy es el covarianza de x e y, σx es el estándar desviación de x, y σy es la desviación estándar de y. Aquí, x e y representan los valores utilizados en el Gráfico de probabilidad, donde x es el tiempo original o transformado ‑hasta‑ el fracaso e y los rangos medianos transformados apropiadamente.
El estimador de ρ es el coeficiente de correlación de la muestra, 
, dado por:
es -1 ≤≤ 1.
Cuanto más cercano sea el valor de es a 1 o -1 (o cuanto más cerca esté el valor absoluto de 1), mejor será ajuste lineal. Tenga en cuenta que +1 indica un ajuste perfecto (es decir, el emparejamiento valores (xi, yi) tumbarse en línea recta) con una pendiente positiva, mientras que -1 indica un ajuste perfecto con una pendiente negativa. A El valor del coeficiente de correlación de cero indicaría que los datos son dispersos aleatoriamente y no tienen patrón ni correlación en relación con el modelo de línea de regresión.
Utilizando el conjunto de datos presentado en la Tabla 1 y Utilizando el método de Regresión de Rango en X para estimar los parámetros, realizamos La siguiente comparación:
Tabla 2: Comparación de los coeficientes de correlación de dos distribuciones utilizando el mismo conjunto de datos
Distribución Modelo | Weibull | Exponencial |
Parámetros | β = 3,36, η = 100,05 | λ = 0,0138 |
Correlación Coeficiente, | 0,95 | -0,67 |
La tabla anterior muestra que La distribución de Weibull es un modelo muy adecuado (es decir, || está cerca de 1). Además, el valor absoluto del coeficiente de correlación para La distribución de Weibull es mayor que la de la exponencial distribución (es decir, la distribución de Weibull es estadísticamente mejor fit).
Nota: El valor del coeficiente de correlación se muestra de forma predeterminada en Weibull++ por debajo de los valores estimados de los parámetros en el Pestaña principal del panel de control del folio estándar.
Valor de probabilidad
Al utilizar el MLE Método (Estimación de Máxima Verosimilitud) para estimar los parámetros del modelo de distribución, el valor de probabilidad se puede utilizar para evaluar el ajuste de la distribución al conjunto de datos. El valor de probabilidad (o función), L, es la base del método de estimación de parámetros MLE. Es matemáticamente formulado de la siguiente manera:
donde:
R es el número de unidades con tiempos exactos hasta el fallo.
M es el número de unidades suspendidas.
P es el número de unidades con tiempos de falla censurados a la izquierda o intervalos.
θ1, θ2, ..., θk son los parámetros de la distribución.
Ti es el Es hora de fallo.
Sj es el jésima vez de suspensión.
es el final del intervalo de tiempo del grupo lth.
es el comienzo del intervalo de tiempo del 1o grupo.
A diferencia del coeficiente de correlación, el El valor de probabilidad no está limitado por un cierto rango de valores posibles. L puede tener cualquier valor y por lo tanto no puede usarse por sí solo para hacer un juicio sobre el ajuste del modelo de distribución. Sin embargo, L se puede utilizar para comparar el ajuste de múltiples distribuciones. La distribución con el mayor valor L es la que mejor se ajusta estadísticamente.
Tenga en cuenta que los valores de probabilidad que se muestran en Weibull++ son en realidad los valores de probabilidad logarítmica, no la probabilidad valores. En su lugar, se utiliza la función de probabilidad logarítmica porque es mucho más fácil trabajar con él que L para estimación de parámetros. El uso de la función de probabilidad logarítmica no afecta la validez del resultados.
Utilizando el conjunto de datos presentado en la Tabla 1 y Utilizando el método MLE para estimar los parámetros, hacemos lo siguiente comparación:
Tabla 3: Comparación del valor de probabilidad logarítmica de dos distribuciones utilizando el mismo conjunto de datos
Distribución Modelo | Weibull | Exponencial |
Parámetros | β = 3,03, η = 100,99 | λ = 0,0111 |
Log-Probabilidad Valor | -48,42 | -55.04 |
La tabla anterior muestra que El valor de probabilidad logarítmica para la distribución de Weibull es mayor que el de la distribución exponencial (es decir, la distribución de Weibull es estadísticamente un mejor ajuste).
Prueba de Kolmogorov-Smirnov (KS)
La prueba estándar de Kolmogorov-Smirnov (KS) solo se puede utilizar para determinar el ajuste de un continuo distribución con parámetros conocidos. En el análisis de datos de vida, los parámetros suelen ser desconocidos y deben ser estimados a partir de los datos de la muestra. Por lo tanto, se utiliza otro tipo de prueba KS, denominada KS modificada test.
Si el conjunto de datos está formado por N tiempos de fallo (t1, t2, ..., tN), nosotros defina SN(t) como la función que proporciona las estimaciones de rango mediano correspondiente a los tiempos de falla ordenados ti (i = 1, 2, ..., N). La función SN(t) es constante entre consecutivos valores de ti y aumentos en pasos en cada ti.
La prueba KS modificada utiliza Dmax, el máximo del absoluto Diferencia entre SN(t) y la distribución acumulativa ajustada función, Q(t). [Ref. 1]
Lo que hace que la prueba KS modificada sea útil es la probabilidad asociada con un valor observado de Dmax, bajo la hipótesis nula (es decir, se dibuja el conjunto de datos a partir de la distribución ajustada), se puede calcular una aproximación útil. El cálculo exacto de Esta probabilidad es matemáticamente compleja e implica una serie infinita. Además, un factor de corrección Se aplica para mejorar la precisión, especialmente para tamaños de muestra pequeños.
La prueba KS modificada devuelve la probabilidad asociada con el valor observado de Dmáx. Un valor de probabilidad alto, cercano a 1, indica que hay es una diferencia significativa entre la distribución teórica y el conjunto de datos.
Utilizando el conjunto de datos presentado en la Tabla 1 y utilizando el método MLE para estimar los parámetros, realizamos La siguiente comparación:
Tabla 4: Comparación de dos distribuciones utilizando el Modificado Prueba de Kolmogorov-Smirnov
Distribución Modelo | Weibull | Exponencial |
Parámetros | β = 3,03, η = 100,99 | λ = 0,0111 |
Probabilidad | 14,84% | 89,58% |
La figura anterior muestra que el valor asociado con Dmax para La distribución de Weibull es menor que la de la distribución exponencial (es decir, la distribución de Weibull la distribución se ajusta estadísticamente mejor).
Nota:
La prueba KS modificada se puede utilizar para tamaños de muestra pequeños.
El resultado de la prueba KS modificada se puede obtener en Weibull++ seleccionando Bondad de Ajuste los resultados del menú Datos de vida.
Prueba de Chi-cuadrado
La prueba de chi-cuadrado se basa en la agrupación (o agrupación) de los datos en varios intervalos (como en los histogramas).
Supongamos que Nies el número de puntos de datos en El i-ésimo bin y ni es el número esperado según a la distribución supuesta. La estadística de chi-cuadrado es entonces [Ref. 1]:
Modelo de distribución | Weibull | Exponencial |
Parámetros | β = 3,03, η = 100,99 | λ = 0,0111 |
valor p | 26,50% | 66,76% |
No hay comentarios:
Publicar un comentario